已知橢圓的焦點(diǎn)是F1(0,-1)和F2(0,1),離心率e=
12
,
(I)求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P在此橢圓上,且有|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.
分析:(I)根據(jù)題意可得:c=1,e=
c
a
=
1
2
,解得a=2,b=
3
,進(jìn)而寫出橢圓的方程.
(Ⅱ)由橢圓的定義得:|PF1|+|PF2|=2a=4,結(jié)合題意可得:|PF1|=
5
2
,|PF2|=
3
2
,再根據(jù)余弦定理求出答案即可.
解答:解:(I)由已知可設(shè)橢圓的方程為:
x2
b 2
+
y2
a 2
=1(a>b>0),…(2分)
由條件知c=1,e=
c
a
=
1
2
,
解得a=2,…(4分)
所以b2=a2-c2=3.…(5分)
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方程為
y2
4
+
x2
3
=1
…(6分)
(Ⅱ)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓
y2
4
+
x2
3
=1
上,
 所以|PF1|+|PF2|=2a=4;…(8分)
又因?yàn)閨PF1|-|PF2|=1,解得|PF1|=
5
2
,|PF2|=
3
2
,…(10分)
在△ABC中,cos∠F1PF2=
|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2
2|PF1||PF2|
=
(
5
2
)
2
+(
3
2
)
2
-22
5
2
×
3
2
=
3
5
,

所以∠F1PF2的余弦值為
3
5
.    …(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查橢圓的定義與橢圓的性質(zhì),以及余弦定理.
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(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求△PF1F2面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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