Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率

3

2

，橢圓C上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為4，直線l過點(diǎn)P（1，0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（I）求橢圓C的方程；
（II） 若

AP

=λ

PB

，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率

3

2

，解得a=2，c=

3

，b=1，由此能求出橢圓C的方程．
（II）直線l過點(diǎn)P（1，0），當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí)，直線l的方程是x=1，此時(shí)

AP

=

PB

，λ=1；當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)l的方程是y=k（x-1），當(dāng)k=0時(shí)，λ取最大值3或取最小值

1

3

．

解答：解：（I）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率

3

2

，
橢圓C上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為4，
∴

c a = 3 2 2a=4 a2=b2+c2

，
解得a=2，c=

3

，b=1，
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+y2=1．
（II）∵直線l過點(diǎn)P（1，0），
①當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí)，直線l的方程是x=1，
此時(shí)

AP

=

PB

，λ=1；
②當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)l的方程是y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，
△=64k⁴-4（4k²+1）（4k²-4）=48k²+16＞0，直線與圓恒有公共點(diǎn)，下對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論
當(dāng)k=0時(shí)，A（2，0），B（-2，0），P（1，0），或B（2，0），A（-2，0），P（1，0），
當(dāng)A（2，0），B（-2，0），P（1，0）時(shí)，

AP

=(-1，0)，

PB

=(-3，0)
λ_min=

AP

PB

=

1

3

；
當(dāng)B（2，0），A（-2，0），P（1，0）時(shí)，

AP

=(3，0)，

PB

=(1，0)
λ_max=

AP

PB

=3．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[

1

3

，3]．
故實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[

1

3

，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和求實(shí)數(shù)λ的取值范圍，考查直線和橢圓的位置關(guān)系及相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．