已知橢圓C:的離心率為,長軸長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線交橢圓C于A、B兩點,試問:在y軸正半軸上是否存在一個定點M滿足,若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(I).(II)存在點滿足.
解析試題分析:(I)利用橢圓的幾何性質(zhì)得.
(II)通過研究時,可知滿足條件,若所求的定點M存在,則一定是P點.
證明就是滿足條件的定點.
將直線方程與橢圓方程聯(lián)立并整理,應(yīng)用韋達(dá)定理,將用坐標(biāo)表示,根據(jù)
得到使的點.
試題解析:(I)由題意得, 2分
解得 3分
橢圓的方程為. 4分
(II)當(dāng)時,直線與橢圓交于兩點的坐標(biāo)分別為,
設(shè)y軸上一點,滿足, 即,
∴解得或(舍),
則可知滿足條件,若所求的定點M存在,則一定是P點. 6分
下面證明就是滿足條件的定點.
設(shè)直線交橢圓于點,.
由題意聯(lián)立方程 8分
由韋達(dá)定理得, 9分
∴
11分
∴,即在y軸正半軸上存在定點滿足條件. 12分
解法2:
設(shè)y軸上一點,滿足, 即, 5分
設(shè)直線交橢圓于點, .
由題意聯(lián)立方程 7分
由韋達(dá)定理得, 8分
∴
10分
整理得,
由對任意k都成立,得
且
解得 11分
所以存在點滿足. 12分
考點:橢圓的幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,平面向量的坐標(biāo)運算.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓,若橢圓的右頂點為圓的圓心,離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若存在直線,使得直線與橢圓分別交于兩點,與圓分別交于兩點,點在線段上,且,求圓的半徑的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知線段MN的兩個端點M、N分別在軸、軸上滑動,且,點P在線段MN上,滿足,記點P的軌跡為曲線W.
(1)求曲線W的方程,并討論W的形狀與的值的關(guān)系;
(2)當(dāng)時,設(shè)A、B是曲線W與軸、軸的正半軸的交點,過原點的直線與曲線W交于C、D兩點,其中C在第一象限,求四邊形ACBD面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知過點的橢圓:的右焦點為,過焦點且與軸不重合的直線與橢圓交于,兩點,點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為,直線,分別交橢圓的右準(zhǔn)線于,兩點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點的坐標(biāo)為,試求直線的方程;
(3)記,兩點的縱坐標(biāo)分別為,,試問是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.
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已知橢圓的左、右焦點分別為、,為原點.
(1)如圖1,點為橢圓上的一點,是的中點,且,求點到軸的距離;
(2)如圖2,直線與橢圓相交于、兩點,若在橢圓上存在點,使四邊形為平行四邊形,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓,橢圓以的長軸為短軸,且與有相同的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,點A,B分別在橢圓和上, ,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:的離心率為,右焦點為,右頂點在圓:上.
(Ⅰ)求橢圓和圓的方程;
(Ⅱ)已知過點的直線與橢圓交于另一點,與圓交于另一點.請判斷是否存在斜率不為0的直線,使點恰好為線段的中點,若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(13分)點P為圓上一個動點,M為點P在y軸上的投影,動點Q滿足.
(1)求動點Q的軌跡C的方程;
(2)一條直線l過點,交曲線C于A、B兩點,且A、B同在以點D(0,1)為圓心的圓上,求直線l的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點,焦點為,點是點關(guān)于軸的對稱點,過點的直線交拋物線于兩點。
(Ⅰ)試問在軸上是否存在不同于點的一點,使得與軸所在的直線所成的銳角相等,若存在,求出定點的坐標(biāo),若不存在說明理由。
(Ⅱ)若的面積為,求向量的夾角;
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