Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1與雙曲線

x2

2

-y²=1有公共焦點，且離心率為

3

2

．A，B分別是橢圓C的左頂點和右頂點．點S是橢圓C上位于x軸上方的動點．直線AS，BS分別與直線l：x=

10

3

分別交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）延長MB交橢圓C于點P，若PS⊥AM，試證明MS²=MB•MP．
（3）當線段MN的長度最小時，在橢圓C上是否存在點T，使得△TSB的面積為

1

5

？若存在確定點T的個數(shù)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓與雙曲線有公共焦點，可確定橢圓的焦點，利用橢圓的離心率，即可求出橢圓的方程；
（2）引入直線AS的斜率k，用點斜式寫出直線AS的方程，與l的方程聯(lián)立求出點M的坐標，與橢圓方程聯(lián)立，求得點S的坐標，又點B的坐標已知，從而可得

BS

⊥

BM

，利用PS⊥AM，由射影定理可得MS²=MB•MP．
（3）線段MN的長度可以表示成直線AS的斜率k的函數(shù)，根據(jù)其形式利用基本不等式法求最值，從而求出直線SB的方程要使橢圓C上存在點T，使得△TSB的面積等于

1

5

，只須T到直線BS的距離等于

2

4

，由此問題轉化為研究與直線SB平行且距離為

2

4

的直線與橢圓的交點個數(shù)問題．

解答：（1）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1與雙曲線

x2

2

-y²=1有公共焦點
∴橢圓C的焦點為(-

3

，0)，(

3

，0)，
∴c=

3

，
又∵e=

c

a

=

3

2

，
∴a=2，b=1，
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．…（3分）
（2）證明：直線AS的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設直線AS的方程為y=k（x+2），從而M(

10

3

，

16k

3

 )
由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
設S（x₁，y₁），則(-2)×x1=

16k2-4

1+4k2

得x1=

2-8k2

1+4k2

，從而y1=

4k

1+4k2

         …（5分）
即S(

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

)
又B（2，0），從而

BS

=( 

-16k2

1+4k2

， 

4k

1+4k2

)，

BM

=(

4

3

，

16k

3

)
∴

BS

•

BM

= (

-16k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

)• (

4

3

，

16k

3

)=0，
∴

BS

⊥

BM

，
又因為PS⊥AM，由射影定理可得MS²=MB•MP．…（7分）
（3）解：由

y=- 1 4k (x-2) x= 10 3

得

x= 10 3 y=- 1 3k

∴N(

10

3

，-

1

3k

)
又k＞0，∴|MN|=

16k

3

+

1

3k

≥2

16k 3 • 1 3k

=

8

3

當且僅當

16k

3

=

1

3k

，即k=

1

4

時等號成立
∴k=

1

4

時，線段MN的長度取最小值

8

3

此時BS的方程為x+y-2=0，S(

6

5

，

4

5

)，∴|BS|=

4 2

5

       …（9分）
要使橢圓C上存在點T，使得△TSB的面積等于

1

5

，只須T到直線BS的距離等于

2

4

，
所以T在平行于BS且與BS距離等于

2

4

的直線l'上．
設直線l'：x+y+t=0，則由

|t+2|

2

=

2

4

，解得t=-

3

2

或t=-

5

2

．
當t=-

3

2

時，由

x+y- 3 2 =0 x2 4 +y2=1

，得5x²-12x+5=0
由于△=44＞0，故直線l'與橢圓C有兩個不同的交點；
當t=-

5

2

時，由

x+y- 5 2 =0 x2 4 +y2=1

得5x²-20x+21=0，
由于△=-20＜0，故直線l'與橢圓沒有交點．
綜上所述，當線段MN的長度最小時，在橢圓C上僅存在兩個不同的點T，使得△TSB的面積為

1

5

．…（12分）

點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合問題，要求答題者擁有較高的探究轉化能力以及對直線與圓錐曲線位置關系中特征有較好的理解，正確理解題意，合理轉化是解題的關鍵．