Question

【題目】設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意，恒成立，則的取值范圍是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意得出對(duì)于任意，，轉(zhuǎn)化為不等式組對(duì)任意的恒成立，分析二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為關(guān)于函數(shù)最值的不等式來(lái)求解，從而可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

由題意得出對(duì)于任意，，

則不等式組對(duì)任意的恒成立.

先考查二次不等式對(duì)任意的恒成立.

構(gòu)造函數(shù)，該二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線.

因?yàn)?/span>恒成立，所以，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得或；

下面來(lái)考查不等式對(duì)任意的恒成立，則.

構(gòu)造函數(shù).

①當(dāng)時(shí)，即當(dāng).

若，則，當(dāng)時(shí)，，不合乎題意；

若，則，合乎題意；

②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線.

當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得，此時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，，解得，此時(shí)，.

由上可知，當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)任意的恒成立.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)任意的恒成立.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.