Question

如圖，河道上有一座拋物線型拱橋，在正常水位時(shí)，拱圈最高點(diǎn)距水面為8m，拱圈內(nèi)水面寬16m．，為保證安全，要求通過(guò)的船頂部（設(shè)為平頂）與拱橋頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5m．
（1）一條船船頂部寬4m，要使這艘船安全通過(guò)，則　　　 船在水面以上部分高不能超過(guò)多少米？
（2）近日因受臺(tái)風(fēng)影響水位暴漲2.7m，為此必須加重船載，降低船身，才能通過(guò)橋洞．試問(wèn)：一艘頂部寬m，在水面以上部分高為4m的船船身應(yīng)至少降低多少米才能安全通過(guò)？

Answer 1

解：（1）如圖所示，以過(guò)拱橋的最高點(diǎn)且平行水面的直線為X軸，最高點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（1分）
設(shè)拋物線方程為x²=-2py，將點(diǎn)（8，-8）代入得2p=8，
∴拋物線方程是x²=-8y，（4分）
將x=2代入得，8-0.5-0.5=7，
故船在水面以上部分高不能超過(guò)7米．（6分）
（2）將代入方程x²=-8y得y=-1，（8分）
此時(shí)1+0.5+2.7+4=8.2，
故船身應(yīng)至少降低0.2米（10分）
分析：（1）設(shè)拋物線方程x²=-2py，拋物線過(guò)點(diǎn)點(diǎn)（8，-8）代入拋物線方程求出參數(shù)p 即得拋物線方程，最后令其x=2即可得出船在水面以上部分高不能超過(guò)多少米．
（2）把x=2代入拋物線的方程求得y值，由1+0.5+2.7+4=8.2，可知船身應(yīng)至少降低0.2米能安全通過(guò)此橋．
點(diǎn)評(píng)：本題考查用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，以及利用拋物線的方程解決實(shí)際問(wèn)題．