Question

給出下列命題：
①若橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，動點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|＞6，則動點(diǎn)P不一定在該橢圓外部；
②以拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與該拋物線必有3個不同的公共點(diǎn)；
③雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)；
④拋物線y²=4x上動點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離的最小值≥1．
其中真命題的序號為    ．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

【答案】分析：①利用橢圓的定義，可得橢圓上的點(diǎn)P′滿足|P′F₁|+|P′F₂|=10，故可判斷；
②以拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓的方程為，與拋物線y²=2px聯(lián)立，即可求得交點(diǎn)的個數(shù)；
③分別求出雙曲線、橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷；
④求出拋物線y²=4x上動點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離的最小值，即可得結(jié)論．
解答：解：①橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，∴橢圓上的點(diǎn)P′滿足|P′F₁|+|P′F₂|=10，∴動點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|＞6，則動點(diǎn)P不一定在該橢圓外部，故①為真命題；
②以拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓的方程為，將拋物線y²=2px代入，并化簡可得：x²+px=0，∵x≥0，p＞0，∴x=0，∴以拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與該拋物線有1個公共點(diǎn)，故②為假命題；
③雙曲線的焦點(diǎn)為（，0），橢圓的焦點(diǎn)為（，0），因此雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，故③為真命題；
④設(shè)拋物線y²=4x上動點(diǎn)P（x，y），則P到其焦點(diǎn)的距離為=
∵x≥0，∴P到其焦點(diǎn)的距離為x+1，∴x+1≥1，∴拋物線y²=4x上動點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離的最小值≥1，故④為真命題
故真命題為①③④
故答案為：①③④
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查圓錐曲線的性質(zhì)，考查圓錐曲線的綜合，解題時，需要利用性質(zhì)一一進(jìn)行判斷．