【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣a(x﹣1),g(x)=ex
(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的最值;
(2)當(dāng)a≠0時(shí),過原點(diǎn)分別作曲線y=f(x)與y=g(x)的切線l1 , l2 , 已知兩切線的斜率互為倒數(shù),證明: <a<

【答案】
(1)解:當(dāng)a=2時(shí),f(x)=lnx﹣2(x﹣1)的定義域?yàn)椋?,+∞),

f′(x)= ﹣2= ;

當(dāng)x∈(0, )時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x∈( ,+∞)時(shí),f′(x)<0,

即函數(shù)f(x)在(0, )上單調(diào)遞增,在( ,+∞)上單調(diào)遞減.

所以f(x)max=f( )=1﹣ln2,沒有最小值


(2)解:證明:設(shè)切線l2的方程為y=k2x,切點(diǎn)為(x2,y2),則y2=

k2=g′(x2)= = ,

所以x2=1,y2=e,則k2=e.

由題意知,切線l1的斜率為k1= = ,l1的方程為y= x;

設(shè)l1與曲線y=f(x)的切點(diǎn)為(x1,y1),則k1=f′(x1)= ﹣a= = ,

所以y1= =1﹣ax1,a=

又因?yàn)閥1=lnx1﹣a(x1﹣1),消去y1和a后,

整理得lnx1﹣1+ =0.

令m(x)=lnx﹣1+ =0,

則m′(x)= = ,m(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

若x1∈(0,1),因?yàn)閙( )=﹣2+e﹣ >0,m(1)=﹣ <0,所以x1∈( ,1),

而a= 在x1∈( ,1)上單調(diào)遞減,所以 <a<

若x1∈(1,+∞),因?yàn)閙(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,且m(e)=0,則x1=e,

所以a= =0(舍去).

綜上可知, <a<


【解析】(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=lnx﹣2(x﹣1)的定義域?yàn)椋?,+∞),再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求解函數(shù)的最值;(2)設(shè)切線l2的方程為y=k2x,從而由導(dǎo)數(shù)及斜率公式可求得切點(diǎn)為(1,e),k2=e;再設(shè)l1的方程為y= x;設(shè)l1與曲線y=f(x)的切點(diǎn)為(x1 , y1),從而可得y1= =1﹣ax1 , a= ;結(jié)合y1=lnx1﹣a(x1﹣1)可得lnx1﹣1+ =0,再令m(x)=lnx﹣1+ ,從而求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性,從而確定 <a< ,問題得證.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

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(1)求P(2)與P(3)的值;
(2)試比較P(n)與P(n+1)的大小,并證明你的結(jié)論.

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說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是(
A.1
B.2
C.3
D.4

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分?jǐn)?shù)段

X:y

1:1

2:1

3:4

4:5

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