設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，求a2+b2的最小值．
分析：把等式看成關(guān)于a，b的直線方程：（x2-1）a+2xb+x-2=0，根據(jù)直線上一點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)的距離大于等于原點(diǎn)到直線的距離，得一不等式，對(duì)式子進(jìn)行恰當(dāng)變形后，利用函數(shù)的單調(diào)性可求得a2+b2的最小值．
解答：解：把等式看成關(guān)于a，b的直線方程：（x2-1）a+2xb+x-2=0，
由于直線上一點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)的距離大于等于原點(diǎn)到直線的距離，即
a2+b2
≥
|x-2|
(x2-1)2+(2x)2
，
所以a2+b2≥(
x-2
1+x2
)2=
1
(x-2+
5
x-2
+4)2
≥
1
100
，
因?yàn)閤-2+
5
x-2
在x∈[3，4]是減函數(shù)，上述式子在x=3，a=-
2
25
，b=-
3
50
時(shí)取等號(hào)，
故a2+b2的最小值為
1
100
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性及不等式知識(shí)，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，能力要求較高．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c滿足f（-1）=0，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都有f（x）-x≥0，并且當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）≤(
x+12
)2．
（1）求f（1）的值；
（2）求證：a＞0，c＞0；
（3）當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-mx，m∈R是單調(diào)的，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的兩個(gè)根x1、x2滿足0＜x1＜x2＜
1
a
，且函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，則有（　�。�
A、x0≤
x1
2
B、x0＞
x1
2
C、x0＜
x1
2
D、x0≥
x1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）滿足：當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值1，且f(0)=
32
．
（1）求a、b、c的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，n，使x∈[m，n]時(shí)，函數(shù)的值域也是[m，n]？若存在，則求出這樣的實(shí)數(shù)m，n；若不存在，則說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2+x+a（a＞0），若f（m）＜0，則有（　�。�

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