Question

有下列五個(gè)命題：
①“若x+y=0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題．
②在平面內(nèi)，F(xiàn)₁、F₂是定點(diǎn)，丨F₁F₂丨=6，動(dòng)點(diǎn)M滿足丨MF₁丨-丨MF₂丨=4，則點(diǎn)M的軌跡是雙曲線．
③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三個(gè)角成等差數(shù)列”的充要條件．
④“若-3＜m＜5，則方程

x2

5-m

+

y2

m+3

=1是橢圓”．
⑤已知向量

a

，

b

，

c

是空間的一個(gè)基底，則向量

a

+

b

，

a

-

b

，

c

也是空間的一個(gè)基底．
⑥橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5．
其中真命題的序號(hào)是

①③⑤⑥

．

Answer 1

分析：①根據(jù)四種命題之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．②根據(jù)雙曲線的定義進(jìn)行判斷．③根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行判斷．④根據(jù)橢圓的定義和方程進(jìn)行判斷．⑤根據(jù)空間向量進(jìn)行判斷．⑥根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行判斷．

解答：解：①若x+y=0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題為：若x，y互為相反數(shù)，則x+y=0”正確．
②根據(jù)雙曲線的定義可知滿足丨MF₁丨-丨MF₂丨=4的點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的一支，∴②錯(cuò)誤．
③若“∠A，∠B，∠C三個(gè)角成等差數(shù)列，則A+C=2B，∴B=60°，∴③正確．
④當(dāng)m=1時(shí)，方程為

x2

4

+

y2

4

=1，表示圓，∴④錯(cuò)誤．
⑤設(shè)x（

a

+

b

）+y（

a

-

b

）+z

c

=0，則（x+y）

a

+（x-y）

b

+z

c

=0，∵向量

a

，

b

，

c

是空間的一個(gè)基底，∴

x+y=0 x-y=0 z=0

，解得x=y=z=0，
∴向量

a

+

b

，

a

-

b

，

c

也是空間的一個(gè)基底，正確．
⑥根據(jù)橢圓的定義可知，P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2a=10，∴P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為10-5=5．正確．
故答案為：①③⑤⑥．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與圓錐曲線有關(guān)的命題的真假，要求熟練掌握橢圓，雙曲線的定義和性質(zhì)．