【題目】如圖，已知，，分別為的中點(diǎn)，，將沿折起，得到四棱錐，為的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）當(dāng)正視圖方向與向量的方向相同時(shí)，的正視圖為直角三角形，求此時(shí)二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意可知，由三線合一可證明，進(jìn)而由線面垂直的判定可證明平面；

（2）先證明，然后以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得平面的一個(gè)法向量，為平面的一個(gè)法向量，即可由二面角的向量求法求得二面角的余弦值.

（1）由平面圖可知，，，，

所以平面，所以.

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，，

∴.

因?yàn)?/span>，

所以平面.

（2）因?yàn)?/span>的正視圖與全等，所以為直角三角形，故.

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

則，，，，，，

所以，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，

∴，令，∴，

因?yàn)?/span>為平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角為，

所以，

因?yàn)槎娼?/span>為鈍角，所以，

故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（Ⅱ）證明：

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生產(chǎn)方式甲

分值區(qū)間

頻數(shù)

20

30

100

40

10

生產(chǎn)方式乙

分值區(qū)間

頻數(shù)

25

35

60

50

30

其中產(chǎn)品質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)可劃分為：指標(biāo)在區(qū)間上的為特優(yōu)品，指標(biāo)在區(qū)間上的為一等品，指標(biāo)在區(qū)間上的為二等品．

（1）用事件表示“按照生產(chǎn)方式甲生產(chǎn)的產(chǎn)品為特優(yōu)品”，估計(jì)的概率；

（2）填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有的把握認(rèn)為“特優(yōu)品”與生產(chǎn)方式有關(guān)？

特優(yōu)品

非特優(yōu)品

生產(chǎn)方式甲

生產(chǎn)方式乙

（3）根據(jù)打分結(jié)果對(duì)甲乙兩種生產(chǎn)方式進(jìn)行優(yōu)劣比較．

附表：

0.10

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

參考公式：，其中．

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⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若，求的值；

⑶設(shè)直線， 的斜率分別為， ，是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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