Question

某市的老城區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示．經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，老城區(qū)改造規(guī)劃建筑用地區(qū)域可近似為半徑是R的圓面．該圓的內(nèi)接四邊形ABCD是原老城區(qū)建筑用地，測(cè)量可知邊界AB＝AD＝4萬(wàn)米，BC＝6萬(wàn)米，CD＝2萬(wàn)米．

（I）請(qǐng)計(jì)算原老城區(qū)建筑用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值；

（II）因地理?xiàng)l件的限制，邊界AD、CD不能變更，而邊界AB、BC可以調(diào)整．為了提高老城區(qū)改造建筑用地的利用率，請(qǐng)?jiān)?sub>上設(shè)計(jì)一點(diǎn)P，使得老城區(qū)改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求出其最大值．

Answer 1

解：　(1)因?yàn)樗倪呅?i>ABCD內(nèi)接于圓，所以∠ABC＋∠ADC＝180°，連接AC，由余弦定理：

AC²＝4²＋6²－2×4×6cos∠ABC

＝4²＋2²－2×2×4cos∠ADC.

∴cos∠ABC＝.∵∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝60°.

則S_{四邊形ABCD}＝×4×6×sin60°＋×2×4×sin120°＝8(萬(wàn)平方米)．

在△ABC中，由余弦定理：

AC²＝AB²＋BC²－2AB·BC·cos∠ABC

＝16＋36－2×4×6×＝28，故AC＝2.

由正弦定理得，2R＝＝＝，∴R＝(萬(wàn)米)．......6分

(2)S_{四邊形APCD}＝S_△ADC＋S_△APC，    S_△ADC＝AD·CD·sin120°＝2.

設(shè)AP＝x，CP＝y，則S_△APC＝xy·sin60°＝xy.

又由余弦定理：AC²＝x²＋y²－2xycos60°＝x²＋y²－xy＝28.

∴x²＋y²－xy≥2xy－xy＝xy.     ∴xy≤28，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y時(shí)取等號(hào)．

∴S_{四邊形APCD}＝2＋xy≤2＋×28＝9，

   即當(dāng)x＝y時(shí)面積最大，其最大面積為9萬(wàn)平方米．......12分