已知x,y∈R,且復(fù)數(shù)z1=x+y-30-xyi和復(fù)數(shù)z2=-|x+yi|+60i是共軛復(fù)數(shù),設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,又O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OAB的面積.
分析:由題意可得x+y-30=-|x+yi|,-xy=-60,解出x、y的值,可得復(fù)數(shù)z1 及復(fù)數(shù)z2 的值,即可求得AB 長(zhǎng)度及
原點(diǎn)O到AB的距離,由此求得等腰三角形△OAB的面積.
解答:解:∵復(fù)數(shù)z1=x+y-30-xyi和復(fù)數(shù)z2=-|x+yi|+60i是共軛復(fù)數(shù),
∴x+y-30=-|x+yi|,-xy=-60,即x+y-30=-
x2+y2
,xy=60.
解得x=12、y=5,或 x=5,y=12.
故復(fù)數(shù)z1 =-13-60i,復(fù)數(shù)z2=-13+60i.
又復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,由題意可得△OAB為等腰三角形,
∴AB=120,原點(diǎn)O到AB的距離為13,
△OAB這個(gè)等腰三角形的面積為 S△OAB=
1
2
×120×13=780.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,求出復(fù)數(shù)z1 =-13-60i,復(fù)數(shù)z2=-13+60i,是解題的關(guān)鍵,
屬于基礎(chǔ)題.
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給出下列四個(gè)命題:
①如果復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|z-i|=2,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是橢圓.
②設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),且對(duì)任意的x∈R,|f(x)|=|f(-x)|恒成立,則f(x)是R上的奇函數(shù)或偶函數(shù).
③已知曲線C:
x2
9
-
y2
16
=1
和兩定點(diǎn)E(-5,0)、F(5,0),若P(x,y)是C上的動(dòng)點(diǎn),則||PE|-|PF||<6.
④設(shè)定義在R上的兩個(gè)函數(shù)f(x)、g(x)都有最小值,且對(duì)任意的x∈R,命題“f(x)>0或g(x)>0”正確,則f(x)的最小值為正數(shù)或g(x)的最小值為正數(shù).
上述命題中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是( 。

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已知x,y∈R,且|(x+3)+yi|=|x-(y-1)|i,求復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z=x+yi對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

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已知x,y∈R,且復(fù)數(shù)z1=x+y-30-xyi和復(fù)數(shù)z2=-|x+yi|+60i是共軛復(fù)數(shù),設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,又O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OAB的面積.

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