Question

工廠生產(chǎn)某種零件，每天需要固定成本100元，每生產(chǎn)1件，還需再投入資金2元，若每天生產(chǎn)的零件能全部售出，每件的銷售收入P（x）（元）與當(dāng)天生產(chǎn)的件數(shù)之間有以下關(guān)系：P(x)=

83- 1 3 x2，0＜x≤10 520 x - 1331 x3 ，x＞10

設(shè)當(dāng)天利潤為y元．
（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）要使當(dāng)天利潤最大，當(dāng)天應(yīng)生產(chǎn)多少零件？（注：利潤等于銷售收入減去總成本）

Answer 1

分析：（1）利用利潤與件數(shù)的關(guān)系建立二者之間的函數(shù)關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵；注意利潤等于銷售收入減去總成本，只需得出總收入和總成本即可．
（2）依據(jù)函數(shù)類型選擇恰當(dāng)?shù)那笞钪档姆椒�，充分利用�?dǎo)數(shù)工具，求出每一段的最值，比較得出該函數(shù)的最大值．最后寫出答案．

解答：解：（1）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，y=x（83-

1

3

x²）-100-2x=-

1

3

x³+81x-100；當(dāng)x＞10時(shí)，y=x（

520

x

-

1331

x3

）-2x-100=-2x-

1331

x2

+420．
∴y=

- 1 3 x3+81x-100，0＜x≤10，x∈N -2x- 1331 x2 +420，x＞10，x∈N

．
（2）設(shè)函數(shù)y=h（x）=

- 1 3 x3+81x-100，0＜x≤10，x∈N -2x- 1331 x2 +420，x＞10，x∈N

．
①當(dāng)0＜x≤10時(shí)，y'=81-x²，令y'=0，得出x=9．當(dāng)x∈（0，9）時(shí)，y'＞0；當(dāng)x∈（9，10）時(shí)，y'＜0；故x=9時(shí)，y_max=386．
②當(dāng)x＞10時(shí)，y'=

-2×1331

x3

-2，令y'=0，得出x=11，當(dāng)x∈（10，11）時(shí)，y'＞0；當(dāng)x∈（11，+∝）時(shí)，y'＜0；故x=11時(shí)，y_max=387．
結(jié)合①②知，當(dāng)x=11時(shí)，y取最大值．
故要使當(dāng)天利潤最大，當(dāng)天應(yīng)生產(chǎn)11件零件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的知識(shí)，考查學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法在本題中有所體現(xiàn)．注意實(shí)際問題的實(shí)際背景．