Question

某校高2010級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)學(xué)習(xí)小組有男生3人女生2人，這5人站成一排留影．
（1）求其中的甲乙兩人必須相鄰的站法有多少種？
（2）求其中的甲乙兩人不相鄰的站法有多少種？
（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少種？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意甲乙兩人必須相鄰的站法，把甲乙捆綁成一個(gè)整體與其余3人當(dāng)著4個(gè)人作全排列有A₄⁴種，且甲、乙的位置還可以互換根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到結(jié)果．
（2）除甲乙兩人外其余3人的排列數(shù)為A₃³，而甲乙二人應(yīng)插其余3人排好的空才不相鄰；且甲、乙位置可以互換．故有C₄²A₂²種排列方式
（3）若甲站最右端，則乙與其余三人可任意排，則此時(shí)的排法數(shù)為A₄⁴種；若甲不站最右端，則先從中間3個(gè)位置中選一個(gè)給甲，再?gòu)某�最右端的省余�?個(gè)位置給乙，其余的三個(gè)人任意排，則此時(shí)的排法數(shù)為C₃¹C₃¹A₃³種；
解答：解：（1）把甲乙捆綁成一個(gè)整體與其余3人當(dāng)著4個(gè)人作全排列有A₄⁴種，
且甲、乙的位置還可以互換
∴不同站法有A₄⁴•A₂²=48種．
（2）除甲乙兩人外其余3人的排列數(shù)為A₃³，
而甲乙二人應(yīng)插其余3人排好的空才不相鄰；
且甲、乙位置可以互換．故有C₄²A₂²種排列方式．
∴不同站法有A₃³•C₄²A₂²=72種．
（3）優(yōu)先考慮甲：
若甲站最右端，則乙與其余三人可任意排，則此時(shí)的排法數(shù)為A₄⁴種；
若甲不站最右端，則先從中間3個(gè)位置中選一個(gè)給甲，
再?gòu)某�最右端的省余�?個(gè)位置給
乙，其余的三個(gè)人任意排，則此時(shí)的排法數(shù)為C₃¹C₃¹A₃³種；
∴不同站法有A₄⁴+C₃¹C₃¹A₃³=78種．
點(diǎn)評(píng)：本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，是一個(gè)排列問題，注意相鄰問題的排法，有限制條件的元素，要優(yōu)先考慮，本題是一個(gè)送分題目．