【題目】已知橢圓的長軸長是焦距的2倍，且過點．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設為橢圓C上的動點，F為橢圓C的右焦點，A、B分別為橢圓C的左、右頂點，點滿足．

①證明：為定值；

②設Q是直線上的動點，直線AQ、BQ分別另交橢圓C于M、N兩點，求的最小值．

【答案】（1）（2）①見解析②3

【解析】

（1）由題意可得又過一點，及，，之間的關系求出，，進而求出橢圓的方程；

（2）①由（1）可得右焦點，，的坐標，求出向量的模，及向量的�？勺C得為定值；

②由題意方程可得為右準線，設的坐標，求出直線，的直線與橢圓聯(lián)立求出，的橫坐標，再由橢圓的性質(zhì)到焦點的距離與到準線的距離的比為離心率可得用，的橫坐標表示，由均值不等式可得其最小值.

解：（1）由題意可得，，，

解得：，，

所以橢圓的方程為：；

（2）由（1）可得，，，

①因為為橢圓C上的動點，

點滿足，所以；

所以

，

所以：，

所以可證為定值2．

②由題意設，所以，

所以直線的方程為：，

聯(lián)立直線與橢圓的方程：

整理可得：，

所以，所以，

同理，所以直線的方程：，

整理可得：，

所以，所以，

因為為右準線，

所以由到焦點的距離與到準線的距離的比為離心率，

可得：

，

當且僅當，即時取等號．

所以的最小值為3．

練習冊系列答案
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【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠DAB=60°.

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A.i<6B.i<7C.i<8D.i<9

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【題目】疫情期間，為了更好地了解學生線上學習的情況，某興趣小組在網(wǎng)上隨機抽取了100名學生對其線上學習滿意情況進行調(diào)查，其中男女比例為2∶3，其中男生有24人滿意，女生有12人不滿意.

（1）完成列聯(lián)表，并回答是否有95%把握認為“線上學習是否滿意與性別有關”

滿意

不滿意

合計

男生

女生

合計

（2）從對線上學習滿意的學生中，利用分層抽樣抽取6名學生，再在6名學生中抽取3名，記抽到的女生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.

參考公式：附：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

.072

2.706

3.842

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）證明：當時，方程在區(qū)間上只有一個解；

（Ⅱ）設，其中.若恒成立，求的取值范圍.

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【題目】2019年，河南省鄭州市的房價依舊是鄭州市民關心的話題．總體來說，二手房房價有所下降，相比二手房而言，新房市場依然強勁，價格持續(xù)升高．已知銷售人員主要靠售房提成領取工資．現(xiàn)統(tǒng)計鄭州市某新房銷售人員一年的工資情況的結果如圖所示，若近幾年來該銷售人員每年的工資總體情況基本穩(wěn)定，則下列說法正確的是（ ）

A.月工資增長率最高的為8月份

B.該銷售人員一年有6個月的工資超過4000元

C.由此圖可以估計，該銷售人員2020年6，7，8月的平均工資將會超過5000元

D.該銷售人員這一年中的最低月工資為1900元

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【題目】已知在平面直角坐標系內(nèi)，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．

（1）把曲線和直線化為直角坐標方程；

（2）過原點引一條射線分別交曲線和直線于，兩點，射線上另有一點滿足，求點的軌跡方程（寫成直角坐標形式的普通方程）．

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【題目】我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出了計算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異�！币馑际牵簝蓚�等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.已知曲線，直線為曲線在點處的切線.如圖所示，陰影部分為曲線、直線以及軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞軸旋轉一周所得的幾何體為.給出以下四個幾何體：

① ② ③ ④

圖①是底面直徑和高均為的圓錐；

圖②是將底面直徑和高均為的圓柱挖掉一個與圓柱同底等高的倒置圓錐得到的幾何體；

圖③是底面邊長和高均為的正四棱錐；

圖④是將上底面直徑為，下底面直徑為，高為的圓臺挖掉一個底面直徑為，高為的倒置圓錐得到的幾何體.

根據(jù)祖暅原理，以上四個幾何體中與的體積相等的是（ ）

A. ①B. ②C. ③D. ④

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