Question

（2013•汕頭一模）在三棱錐P-ABC中．側(cè)梭長(zhǎng)均為4．底邊AC=4．AB=2，BC=2

3

，D．E分別為PC．BC的中點(diǎn)．
〔I）求證：平面PAC⊥平面ABC．
（Ⅱ）求三棱錐P-ABC的體積；
（Ⅲ）求二面角C-AD-E的余弦值．

Answer 1

分析：（I）利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到OP⊥AC，再利用勾股定理的逆定理即可得到OP⊥OB，利用線面垂直的判定定理即可證明；
（II）由（I）可知OP⊥平面ABC，故OP為三棱錐P-ABC的高，且OP=2

3

，直角三角形ABC的面積S=

1

2

AB×BC，再利用VP-ABC=

1

3

S△ABC×OP即可得出．
（III）方法一：過(guò)點(diǎn)E 作EH⊥AC于H，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥AD于M，連接ME，由平面PAC⊥平面ABC，EH⊥AC，EH?平面ABC，可得EH⊥平面PAC，于是ME⊥AD（三垂線定理），可得∠EMH即為所求的二面角的平面角．利用直角三角形的邊角關(guān)系求出即可．
方法二：以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量即可得到二面角．

解答：證明：（Ⅰ）∵PA=PB=PC=AC=4，
取AC的中點(diǎn)O，連接OP，OB，可得：OP⊥AC，
OP=

PC2-OC2

=

42-22

=2

3

，
∵AC=4，AB=2，BC=2

3

，∴AC²=AB²+BC²，∴△ABC為Rt△．
∴OB=OC=2，PB²=OB²+OP²，∴OP⊥OB．
又∵AC∩BO=O且AC、OB?面ABC，∴OP⊥平面ABC，
又∵OP?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．）
（Ⅱ）由（I）可知：OP⊥平面ABC，∴OP為三棱錐P-ABC的高，且OP=2

3

．
直角三角形ABC的面積S=

1

2

AB×BC=

1

2

×2×2

3

=2

3

．
∴V_P-ABC=

1

3

S△ABC×OP=

1

3

×2

3

×2

3

=4．
（Ⅲ）方法一：過(guò)點(diǎn)E 作EH⊥AC于H，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥AD于M，
連接ME，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，EH⊥AC，EH?平面ABC，
∴EH⊥平面PAC，∴ME⊥AD（三垂線定理），
∴∠EMH即為所求的二面角的平面角．
∵E，D分別為中點(diǎn)，EH⊥AC，
∴在RT△HEC中：HC=ECcos300=

3

2

，EH=ECsin300=

3

2

，
∴AH=4-HC=

5

2

在RT△HMA中，MH=AHsin300=

5

4

．
在RT△HME中，ME=

HE2+HM2

=

3 4 + 25 16

=

37

4

．
所以cos∠EMH=

MH

ME

=

5 4

37 4

=

5 37

37

．
方法二：以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
O（0，0，0），A（0，-2，0），B(

3

，-1，0)，C（0，2，0），D(0，1，

3

)，E(

3

2

，

1

2

，0)，P(0，0，2

3

)，
∴

AE

=(

3

2

，

5

2

，0)，

AD

=(0，3，

3

)，
設(shè)平面AED的一個(gè)法向量為

n

1=(x，y，z)，
平面ACD的一個(gè)法向量為

n

2=(1，0，0)，
則

n1 • AE =0 n1 • AD =0

，得

3 2 x+ 5 2 y=0 3y+ 3 z=0

，令x=1，則y=-

3

5

，z=

3

5

．
∴

n1

=(1，-

3

5

，

3

5

)，
設(shè)所求的二面角為θ，顯然θ為銳角，
cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| n1 • n2 |

| n1 | | n2 |

=

1

1+ 3 25 + 9 25

=

5 37

37

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、線面垂直的判定和性質(zhì)定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、利用三垂線定理和二面角的定義求得二面角的平面角、通過(guò)空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量得到二面角等是解題的關(guān)鍵．