【題目】函數(shù) 是定義在(﹣1,1)上的奇函數(shù),且 .
(1)確定函數(shù)的解析式;
(2)證明函數(shù)f(x)在(﹣1,1)上是增函數(shù);
(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.
【答案】
(1)解:因為f(x)為(﹣1,1)上的奇函數(shù),所以f(0)=0,即b=0.
又f( )= ,所以 = ,解得a=1.
所以f(x)=
(2)解:任取﹣1<x1<x2<1,
則f(x1)﹣f(x2)= ﹣ = ,
因為﹣1<x1<x2<1,所以x1﹣x2<0,1﹣x1x2>0,
所以f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
所以函數(shù)f(x)在(﹣1,1)上是增函數(shù)
(3)解:f(t﹣1)+f(t)<0可化為f(t﹣1)<﹣f(t).
又f(x)為奇函數(shù),所以f(t﹣1)<f(﹣t),
f(x)為(﹣1,1)上的增函數(shù),所以t﹣1<﹣t①,且﹣1<t﹣1<1②,﹣1<t<1③;
聯(lián)立①②③解得,0<t< .
所以不等式f(t﹣1)+f(t)<0的解集為
【解析】(1)根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)有f(0)=0,可求出b,由 可求得a值.(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明;(3)根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可去掉不等式中的符號“f”,再考慮到定義域可得一不等式組,解出即可.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= ,記f1(x)=f(f(x)),f2(x)=f(f1(x)),…,fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N* , 那么下列說法正確的是( )
A.f(x)的圖象關(guān)于點(﹣1,1)對稱,f2016(0)=0
B.f(x)的圖象關(guān)于點(﹣1,﹣1)對稱,f2016(0)=0
C.f(x)的圖象關(guān)于點(﹣1,1)對稱,f2016(0)=1
D.f(x)的圖象關(guān)于點(﹣1,﹣1)對稱,f2016(0)=1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的右焦點為F2(1,0),點P(1, )在橢圓C上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過坐標(biāo)原點O的兩條直線EF,MN分別與橢圓C交于E,F(xiàn),M,N四點,且直線OE,OM的斜率之積為﹣ ,求證:四邊形EMFN的面積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左頂點為,且橢圓與直線相切,
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點的動直線與橢圓交于兩點,設(shè)為坐標(biāo)原點,是否存在常數(shù),使得?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=log2(4x)log2(2x),且x滿足4﹣17x+4x2≤0,求f(x)的最值,并求出取得最值時,對應(yīng)f(x)的 值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列說法:
①集合A={x∈Z|x=2k﹣1,k∈Z}與集合B={x∈z|x=2k+3,k∈Z}是相等集合;
②若函數(shù)f(x)的定義域為[0,2],則函數(shù)f(2x)的定義域為[0,4];
③函數(shù)y= 的單調(diào)減區(qū)間是(﹣∞,0)∪(0,+∞);
④不存在實數(shù)m,使f(x)=x2+mx+1為奇函數(shù);
⑤若f(x+y)=f(x)f(y),且f(1)=2,則 + +…+ =2016.
其中正確說法的序號是( )
A.①②③
B.②③④
C.①③⑤
D.①④⑤
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的焦點為,過點的直線交于兩點,交軸于點到軸的距離比小.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若,求的方程.
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