Question

【題目】已知函數(shù)，，圖象與軸交于點（異于原點），在處的切線為，圖象與軸交于點且在該點處的切線為，并且與平行.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）已知實數(shù)，求函數(shù)的最小值；

（Ⅲ）令，給定，對于兩個大于1的正數(shù)，存在實數(shù)滿足：，，并且使得不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）；（II）當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，；（III）.

【解析】

試題分析：（I）令，求得，求導(dǎo)代入可得斜率為.與軸交于點，求導(dǎo)代入可得斜率為.兩條直線平行，故，；（II）化簡函數(shù)可得.令,利用導(dǎo)數(shù)并對進行分類討論，可求得函數(shù)的最小值；（III）先求得，利用導(dǎo)數(shù)可知在上單調(diào)遞增，有，對分成類進行分類討論，求得其取值范圍是.

試題解析：

圖象與軸異于原點的交點，

圖象與軸的交點，

由題意可得，即，

∴，

（2）

=

令，在 時，，

∴在單調(diào)遞增，

圖象的對稱軸，拋物線開口向上

①當(dāng)即時，

②當(dāng)即時，

③當(dāng)即時，

綜上：當(dāng)時， ；當(dāng)

；當(dāng)時，…………8分

,

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增

∴時，

①當(dāng)時，有，

，

得，同理，

∴ 由的單調(diào)性知 、

從而有，符合題設(shè).

②當(dāng)時，，

，

由的單調(diào)性知 ，

∴，與題設(shè)不符

③當(dāng)時，同理可得，

得，與題設(shè)不符.

∴綜合①、②、③得