Question

（理） 某次國(guó)際象棋友誼賽在中國(guó)隊(duì)和烏克蘭隊(duì)之間舉行，比賽采用積分制，比賽規(guī)則規(guī)定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分，根據(jù)以往戰(zhàn)況，每局中國(guó)隊(duì)贏的概率為

1

2

，烏克蘭隊(duì)贏的概率為

1

3

，且每局比賽輸贏互不影響．若中國(guó)隊(duì)第n局的得分記為a_n，令S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）求S₃=4的概率；
（2）若規(guī)定：當(dāng)其中一方的積分達(dá)到或超過(guò)4分時(shí)，比賽不再繼續(xù)，否則，繼續(xù)進(jìn)行．設(shè)隨機(jī)變量ξ表示此次比賽共進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．
（文） 某次國(guó)際象棋友誼賽在中國(guó)隊(duì)和烏克蘭隊(duì)之間舉行，比賽采用積分制，比賽規(guī)則規(guī)定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分，根據(jù)以往戰(zhàn)況，每局中國(guó)隊(duì)贏的概率為

1

2

，烏克蘭隊(duì)贏的概率為

1

3

，且每局比賽輸贏互不影響．若中國(guó)隊(duì)第n局的得分記為a_n，令S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）求S₃=4的概率；
（2）若規(guī)定：當(dāng)其中一方的積分達(dá)到或超過(guò)4分時(shí)，比賽不再繼續(xù)，否則，繼續(xù)進(jìn)行．求比賽進(jìn)行三局就結(jié)束比賽的概率．

Answer 1

分析：（理）（1）由題意由于中國(guó)隊(duì)贏的概率

1

2

，即為烏克蘭隊(duì)輸?shù)母怕�，同理烏克蘭隊(duì)贏的概率

1

3

即為中國(guó)隊(duì)輸?shù)母怕剩�和棋的概率�?span id="ffdjtpx" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

6

，又每局比賽輸贏互不影響．若中國(guó)隊(duì)第n局的得分記為a_n，令S_n=a₁+a₂+…+a_n 所以S₃=4及進(jìn)行3場(chǎng)比賽得分和為4，又比賽規(guī)則規(guī)定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分，所以進(jìn)行3場(chǎng)比賽得4分的所有可能為：①3場(chǎng)比賽中國(guó)隊(duì)贏2場(chǎng)，輸1場(chǎng)；②3場(chǎng)比賽中國(guó)隊(duì)贏1場(chǎng)，平兩場(chǎng)；利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式即可求得；
（2）由于規(guī)定：當(dāng)其中一方的積分達(dá)到或超過(guò)4分時(shí)，比賽不再繼續(xù)，否則，繼續(xù)進(jìn)行，隨機(jī)變量ξ表示此次比賽共進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，則隨機(jī)變量ξ可能取2，3，4，利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式即可列出分布列，并求其期望．
（文）（1）由題意由于中國(guó)隊(duì)贏的概率

1

2

，即為烏克蘭隊(duì)輸?shù)母怕�，同理烏克蘭隊(duì)贏的概率

1

3

即為中國(guó)隊(duì)輸?shù)母怕�，和棋的概率�?span id="7dzxbzv" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

6

，又每局比賽輸贏互不影響．若中國(guó)隊(duì)第n局的得分記為a_n，令S_n=a₁+a₂+…+a_n 所以S₃=4及進(jìn)行3場(chǎng)比賽得分和為4，又比賽規(guī)則規(guī)定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分，所以進(jìn)行3場(chǎng)比賽得4分的所有可能為：①3場(chǎng)比賽中國(guó)隊(duì)贏2場(chǎng)，輸1場(chǎng)；②3場(chǎng)比賽中國(guó)隊(duì)贏1場(chǎng)，平兩場(chǎng)；利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式即可求得；
（2）由于規(guī)定：當(dāng)其中一方的積分達(dá)到或超過(guò)4分時(shí)，比賽不再繼續(xù)，否則，繼續(xù)進(jìn)行，利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式即可求得則比賽3局就結(jié)束比賽的概率．

解答：解：（理）（1）因?yàn)橹袊?guó)隊(duì)贏的概率

1

2

即為烏克蘭隊(duì)輸?shù)母怕�，同理，烏克蘭隊(duì)贏的概率

1

3

即為中國(guó)隊(duì)輸?shù)母怕剩瑑申?duì)和棋的概率為

1

6

，又每局比賽輸贏互不影響，
而比賽規(guī)則規(guī)定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分，
所以進(jìn)行3場(chǎng)比賽得4分的所有可能為：①3場(chǎng)比賽中國(guó)隊(duì)贏2場(chǎng)，輸1場(chǎng)；②3場(chǎng)比賽中國(guó)隊(duì)贏1場(chǎng)，平兩場(chǎng)；利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生及互斥事件一個(gè)發(fā)生的概率公式可得：P=

C

2 3

(

1

2

)2

1

3

+

C

1 3

1

2

(

1

6

)2=

7

24

；
（2）由題意設(shè)隨機(jī)變量ξ表示此次比賽共進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，則由題意得隨機(jī)變量ξ可能取2，3，4，
P(ξ=2)=

13

36

，P(ξ=3)=

101

216

，P(ξ=4)=

37

216

；Eξ=

607

216

．
（文）（1）因?yàn)橹袊?guó)隊(duì)贏的概率

1

2

即為烏克蘭隊(duì)輸?shù)母怕�，同理，烏克蘭隊(duì)贏的概率

1

3

即為中國(guó)隊(duì)輸?shù)母怕�，兩�?duì)和棋的概率為

1

6

，又每局比賽輸贏互不影響，而比賽規(guī)則規(guī)定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分，
所以進(jìn)行3場(chǎng)比賽得4分的所有可能為：①3場(chǎng)比賽中國(guó)隊(duì)贏2場(chǎng)，輸1場(chǎng)；②3場(chǎng)比賽中國(guó)隊(duì)贏1場(chǎng)，平兩場(chǎng)；利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生及互斥事件一個(gè)發(fā)生的概率公式可得：P=

C

2 3

(

1

2

)2

1

3

+

C

1 3

1

2

(

1

6

)2=

7

24

；
（2）由題意，由于規(guī)定：當(dāng)其中一方的積分達(dá)到或超過(guò)4分時(shí)，比賽不再繼續(xù)，否則，繼續(xù)進(jìn)行．
則比賽進(jìn)行三局就結(jié)束比賽的概率為P(ξ=3)=

101

216

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生對(duì)于題意的理解，還考查了獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生及互斥事件一個(gè)發(fā)生的概率公式，還考查了隨機(jī)變量與其期望的定義．