Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)F在直線m：y=

4

3

(x-1)上，直線m與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不同于A，B），直線PA，PB分別交該拋物線的準(zhǔn)線l于點(diǎn)M，N．
（1）求拋物線方程；
（2）求證：以MN為直徑的圓C經(jīng)過焦點(diǎn)F，且當(dāng)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，圓C與直線m相切．

Answer 1

分析：（1）依題意可知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而求得p，則拋物線的方程可得．
（2）把直線與拋物線方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，則直線AP的斜率可表示出來，根據(jù)點(diǎn)斜式表示直線AP的方程，把x=-1代入求得M的縱坐標(biāo)，同理可表示出直線PB的方程把x=-1代入求得N的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得

MF

•

NF

=0判斷出MF⊥NF，進(jìn)而可知以MN為直徑的圓C經(jīng)過焦點(diǎn)F．當(dāng)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，t=0，可得MN中點(diǎn)，即圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求得

CF

•

AB

=0，進(jìn)而可知CF⊥AB，推斷出圓C與直線m相切．

解答：解：（1）依題意，焦點(diǎn)F（1，0），拋物線方程為y²=4x．
（2）由

y2=4x y= 4 3 (x-1)

得4x²-17x+4=0，x₁=4，x2=

1

4

，
∴A(4，4)，B(

1

4

，-1)．
設(shè)P(

t2

4

，t)，則kPA=

t-4

t2 4 -4

=

4

t+4

，
直線PA：y-4=

4

t+4

(x-4)，令x=-1，
得yM=

4t-4

t+4

，即M(-1，

4t-4

t+4

)，
同理，直線PB：y+1=

4

t-1

(x-

1

4

)，令x=-1，得yN=

-t-4

t-1

，
即N(-1，

-t-4

t-1

)，
∴

MF

•

NF

=(2，-

4t-4

t+4

)•(2，

t+4

t-1

)=0，∴MF⊥NF，
∴以MN為直徑的圓C經(jīng)過焦點(diǎn)F．
當(dāng)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，t=0，可得MN中點(diǎn)，即圓心C(-1，

3

2

)，

CF

=(2，-

3

2

)，

AB

=(-

15

4

，-5)，
∴

CF

•

AB

=0，即CF⊥AB，
∴圓C與直線m相切．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力．