解:(1)由已知,得a
1=S
1=
=0,∴S
n=
,
則有S
n+1=
,
∴2(S
n+1-S
n)=(n+1)a
n+1-na
n,即(n-1)a
n+1=na
n n∈N*,
∴na
n+2=(n+1)a
n+1,
兩式相減得,2a
n+1=a
n+2+a
n n∈N*,
即a
n+1-a
n+1=a
n+1-a
n n∈N*,
故數(shù)列{a
n}是等差數(shù)列.
又a
1=0,a
2=a,∴a
n=(n-1)a.
(2)若a=2,則a
n=2(n-1),∴S
n=n(n-1).
由
,得n
2-n+11=(m-1)
2,即4(m-1)
2-(2n-1)
2=43,
∴(2m+2n-3)(2m-2n-1)=43.
∵43是質(zhì)數(shù),2m+2n-3>2m-2n-1,2m+2n-3>0,
∴
,解得m=12,n=11.
(3)由a
n+b≤p,得a(n-1)+b≤p.
若a<0,則n≥
+1,不合題意,舍去;
若a>0,則n≤
+1.∵不等式a
n+b≤p成立的最大正整數(shù)解為3p-2,
∴3p-2≤
+1<3p-1,
即2a-b<(3a-1)p≤3a-b,對任意正整數(shù)p都成立.
∴3a-1=0,解得a=
,
此時(shí),
-b<0≤1-b,解得
<b≤1.
故存在實(shí)數(shù)a、b滿足條件,a與b的取值范圍是a=
,
<b≤1.
分析:(1)利用數(shù)列的項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系,將條件轉(zhuǎn)化為數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系,判定數(shù)列為特征數(shù)列,再求通項(xiàng)公式;
(2)利用(1)的結(jié)論,求出m、n滿足的關(guān)系,分析求解即可;
(3)根據(jù)條件a
n+b≤p求出n滿足的條件,再根據(jù)滿足a
n+b≤p的最大項(xiàng)始終為3P-2,轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題,分析求解即可.
點(diǎn)評(píng):本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列的項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系及數(shù)列的綜合問題.