Question

【題目】過點(diǎn)P(2,4)作兩條互相垂直的直線l1,l2,若l1交x軸于A點(diǎn),l2交y軸于B點(diǎn),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

Answer 1

【答案】

【解析】

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，用表示出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用得出滿足的方程，注意討論斜率不存在的情形．

如圖所示,設(shè)點(diǎn)A(a,0),B(0,b),M(x,y).因?yàn)?/span>M為線段AB的中點(diǎn),所以a=2x,b=2y,即A(2x,0),B(0,2y).

當(dāng)2x≠2,即x≠1時(shí),因?yàn)?/span>l1⊥l2,所以kAP·kPB=-1.而kAP=(x≠1),

kPB=,所以·=-1(x≠1),

整理得,x+2y-5=0(x≠1).

因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí),A,B的坐標(biāo)分別為(2,0),(0,4),所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2),它滿足方程x+2y-5=0.

綜上所述,點(diǎn)M的軌跡方程是x+2y-5=0.