Question

已知在區(qū)間上是增函數(shù).

（1）求實數(shù)的值組成的集合；

（2）設(shè)關(guān)于的方程的兩個非零實根為、．試問：是否存在實數(shù)，使得不等式對任意及 恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）實數(shù)a的值組成的集合；

（2）存在實數(shù)，使得不等式對任意及 恒成立．

【解析】

試題分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將條件在區(qū)間上為增函數(shù)這一條件轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象得到，從而解出實數(shù)的取值范圍；（2）先將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到與，然后利用

將用參數(shù)進(jìn)行表示，進(jìn)而得到不等式對任意

及恒成立，等價轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，將不等式

轉(zhuǎn)化為以為自變量的一次函數(shù)不等式恒成立，只需考慮相應(yīng)的端點值即可，從而解出參數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）因為在區(qū)間上是增函數(shù)，

所以，在區(qū)間上恒成立，

，

所以，實數(shù)的值組成的集合；

（2）由 得，即，

因為方程，即的兩個非零實根為、，

、是方程兩個非零實根，于是，，

，

，，

設(shè)，，

則，

若對任意及恒成立，

則，解得或，

因此，存在實數(shù)或，使得不等式對任意及恒成立.

考點：1.函數(shù)的單調(diào)性；2.二次函數(shù)的零點分布；3.韋達(dá)定理；4.主次元交換