已知點(diǎn)P是拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在y軸上的射影是M,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,a),則當(dāng)|a|>4時(shí),|PA|+|PM|的最小值是
 
分析:先看當(dāng)x=4時(shí)根據(jù)拋物線方程求得縱坐標(biāo)的絕對(duì)值,而|a|>4,明A(4,a)是在拋物線之外拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線可求得,延長(zhǎng)PM交L:x=-1于點(diǎn)N,必有:|PM|=|PN|-|MN|=|PN|-1根據(jù)拋物線的定義,可知:拋物線上的點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-1的距離等于其到焦點(diǎn)F(1,0)的距離進(jìn)而判斷出|PA|+|PM|=|PF|+|PA|-1,只需求出|PF|+|PA|的最小值即可.由于A在拋物線之外,可由圖象的幾何位置判斷出:AF必與拋物線交于一點(diǎn),設(shè)此點(diǎn)為P',看p和P'的重合與不重合兩種情況分別求得最小值,最后綜合可得答案.
解答:解:首先,當(dāng)x=4時(shí),代入拋物線方程,求得|y|=4
而|a|>4,說(shuō)明A(4,a)是在拋物線之外(也就是在拋物線位于第一象限的上半支的上方或是下半支的下方)
拋物線焦點(diǎn)可求得是F(1,0),準(zhǔn)線L:x=-1
P在y軸上的射影是M,說(shuō)明PM⊥y軸,延長(zhǎng)PM交L:x=-1于點(diǎn)N,必有:
|PM|=|PN|-|MN|=|PN|-1
|PN|就是P到準(zhǔn)線L:x=-1的距離!
連接PF
根據(jù)拋物線的定義,
可知:拋物線上的點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-1的距離等于其到焦點(diǎn)F(1,0)的距離!即:|PF|=|PN|
∴|PM|=|PF|-1
|PA|+|PM|=|PF|+|PA|-1
只需求出|PF|+|PA|的最小值即可:
連接|AF|
由于A在拋物線之外,可由圖象的幾何位置判斷出:AF必與拋物線交于一點(diǎn),設(shè)此點(diǎn)為P'
1°當(dāng)P與P'不重合時(shí):A,P,F(xiàn)三點(diǎn)必不共線,三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形APF,根據(jù)三角形“兩邊之和大于第三邊”的性質(zhì),可得:
|PF|+|PA|>|AF|=
(4-1)2+(a-0)2
^=
a2+9

2°當(dāng)P與P'重合時(shí),A,P(P'),F(xiàn)三點(diǎn)共線,根據(jù)幾何關(guān)系有:
|PF|+|PA|=|AF|=
a2+9

綜合1°,2°兩種情況可得:
|PF|+|PA|≥
a2+9

∴(|PF|+|PA|)min=
a2+9

∴(|PA|+|PM|)min=
a2+9
-1
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了拋物線的應(yīng)用,以及拋物線定義的應(yīng)用.考查了學(xué)生對(duì)拋物線定義的理解和應(yīng)用.
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已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在y軸上的射影是M,點(diǎn)A(
7
2
,4)
,則|PA|+|PM|的最小值是( 。
A、5
B、
9
2
C、4
D、AD

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7
2
,4)
,則|PA|+|PM|的最小值是( 。

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7
2
7
2

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