已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)，過點(diǎn)作直線(不與軸重合)交橢圓于、兩點(diǎn)，連結(jié)、分別交直線于、兩點(diǎn)，試探究直線、的斜率之積是否為定值，若為定值，請求出；若不為定值，請說明理由．

（1）；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）由直線和圓相切，求，再由離心率，得，從而求，進(jìn)而求橢圓的方程；（2）要說明直線、的斜率之積是否為定值，關(guān)鍵是確定、兩點(diǎn)的坐標(biāo).首先設(shè)直線的方程，并與橢圓聯(lián)立，設(shè)，利用三點(diǎn)共線確定、兩點(diǎn)的坐標(biāo)的坐標(biāo)，再計(jì)算直線、的斜率之積，這時會涉及到，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，研究其值是否為定值即可．
試題解析：（1），故     4分
（2）設(shè)，若直線與縱軸垂直，  

則中有一點(diǎn)與重合，與題意不符，
故可設(shè)直線.           5分
將其與橢圓方程聯(lián)立，消去得：
          6分
     7分
由三點(diǎn)共線可知，，，        8分
同理可得                                             9分
                  10分
而       11分
所以
故直線、的斜率為定值.                 13分
考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)；2、直線和橢圓的位置關(guān)系.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（已知拋物線（）的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的方程，并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）是否存在過焦點(diǎn)的直線（直線與拋物線交于點(diǎn)，），使得三角形的面積？若存在，請求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，離心率為的橢圓上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的距離的最大值為3，過橢圓內(nèi)一點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)、和、，且滿足，其中為常數(shù)，過點(diǎn)作的平行線交橢圓于、兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)，求直線的方程，并證明點(diǎn)平分線段.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓過點(diǎn)和點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的一個焦點(diǎn)為，離心率為．設(shè)是橢圓長軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率，且直線是拋物線的一條切線.
（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)P 為橢圓上一點(diǎn)，直線，判斷l(xiāng)與橢圓的位置關(guān)系并給出理由；
（3）過橢圓上一點(diǎn)P作橢圓的切線交直線于點(diǎn)A，試判斷線段AP為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+(y－4)2=1的圓心為點(diǎn)M

(1)求點(diǎn)M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離；
(2)已知點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點(diǎn)，若過M，P兩點(diǎn)的直線l垂直于AB，求直線l的方程

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的一個頂點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，試問，是否存在軸上的點(diǎn)，使得對任意的，為定值，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的方程為,其中.
（1）求橢圓形狀最圓時的方程；
（2）若橢圓最圓時任意兩條互相垂直的切線相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在一個定圓上.

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同步練習(xí)冊答案