已知函數(shù)上單調遞減且滿足.

(1)求的取值范圍.

(2)設,求上的最大值和最小值.

 

【答案】

(1);(2)當時,取得最小值,

上取得最大值.

時, 取得最大值,在時取得最小值.

時,由,得.

時,時取得最小值,在時取得最大值.

時,時取得最大值,在時取得最小值,

時,時取得最小值;

時,時取得最小值.

【解析】

試題分析:(1)注意到 ,

其導函數(shù)為

根據(jù)題意得到“對于任意.有”.所以結合二次函數(shù)的性質分類討論.

具體情況有,,.

(2)注意到,

討論,,的情況.

而在時,要結合二次函數(shù)的圖象和性質,具體地討論①若,即;

②若,即的不同情況.

易錯點在于分類討論不全面.

試題解析:

(1)由得:

 ,

依題意需對于任意.有.

時,因為二次函數(shù)的圖像開口向上,

,所以需,即;

時,對任意,符合條件;

時,對任意,符合條件;

時,因為,不符合條件.

的取值范圍為.

(2)因,,

時,,取得最小值,

上取得最大值.

時,對任意取得最大值,在時取得最小值.

時,由,得.

①若,即時,上單調遞增,時取得最小值,在時取得最大值.

②若,即時,時取得最大值,在時取得最小值,而.則當時,時取得最小值;

時,時取得最小值.

考點:應用導數(shù)研究函數(shù),分類討論思想,數(shù)學式子的變形能力.

 

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