Question

在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱BB₁和DD₁的中點.

（1）求證：平面B₁FC//平面ADE；
（2）試在棱DC上取一點M，使平面ADE；
（3）設正方體的棱長為1，求四面體A­₁—FEA的體積.

Answer 1

（1）E、F分別為正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁棱BB₁和DD₁中點. 四邊形DFB₁E為平行四邊形，即FB₁//DE，由又
平面B₁FC//平面ADE（2）取DC中點M（3）

試題分析：（1）證明：E、F分別為正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁棱BB₁和DD₁中點.


四邊形DFB₁E為平行四邊形，
即FB₁//DE，
由       2分
又
平面B₁FC//平面ADE.       4分
（2）證明：取DC中點M，連接D₁M，
由正方體性質可知，，
且        5分
所以
又
所以
所以       6分
又
平面B₁FC₁
又由（1）知平面B₁FC₁//平面ADE.
所以平面ADE.       8分
（3）方法一：由正方體性質有點F到棱AA₁的距離及點E到側面A₁ADD₁的距離都是棱長1  9分

     12分
方法二：取EF中點O₁，
把四面體分割成兩部分F—AA₁O₁，E—AA₁O₁
        10分
E、F分 為正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁棱BB₁和DD₁中點，

由正方體性質有，O₁為正方體的中心.
平面AA₁O，
O₁到AA₁的距離為面對角線的一半，

      12分
點評：判定兩面平行常用的方法是其中一個平面內兩條相交直線平行于另外一面；判定線面垂直常用方法是直線垂直于平面內兩條相交直線；椎體體積