Question

分別以雙曲線G：

x2

16

-

y2

9

=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以雙曲線G的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓C．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3），在y軸上是否存在定點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M且斜率為k的動(dòng)直線l 交橢圓于A、B兩點(diǎn)，使以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)P，若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定雙曲線G：

x2

16

-

y2

9

=1的焦點(diǎn)為（±5，0），頂點(diǎn)為（±4，0），從而可得橢圓的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)，進(jìn)而可求橢圓方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在M（0，a），過(guò)點(diǎn)M且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，使以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)P，AB方程為y=kx+a，代入方程C：

x2

25

+

y2

9

=1，消去y，得（9+25k²）x²+50akx+25a²-225=0，利用韋達(dá)定理結(jié)合

PA

•

PB

=0，即可知M點(diǎn)的坐標(biāo)存在．

解答：解：（Ⅰ）雙曲線G：

x2

16

-

y2

9

=1的焦點(diǎn)為（±5，0），頂點(diǎn)為（±4，0），
所以所求橢圓方程為C：

x2

25

+

y2

9

=1…（5分）
（Ⅱ）假設(shè)存在M（0，a），過(guò)點(diǎn)M且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，使以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)P，
AB方程為y=kx+a，代入方程C：

x2

25

+

y2

9

=1，
消去y，得（9+25k²）x²+50akx+25a²-225=0，…（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x₁+x₂=

-50ak

9+25k2

，x₁x₂=

25a2-225

9+25k2

…（9分）

PA

•

PB

=(x1，y1-3)•(x2，y2-3)=x₁x₂+y₁y₂-3（y₁+y₂）+9
=x₁x₂+（kx₁+a）（kx₂+a）-3k（x₁+x₂）-6a+9=（k²+1）x₁x₂+k（a-3）（ x₁+x₂）+a²-6a+9
=（k²+1）

25a2-225

9+25k2

+k（a-3）

-50ak

9+25k2

+a²-6a+9
由以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)P，可得

PA

•

PB

=0，得17a²-27a-72=0，
∴（17a+24）（a-3）=0…（12分）
∴a=3，或a=-

24

17

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3），過(guò)點(diǎn)M且斜率為k的動(dòng)直線l 交橢圓于A、B兩點(diǎn)
∴a=-

24

17

故M點(diǎn)的坐標(biāo)存在，M的坐標(biāo)為（0，-

24

17

）…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線、橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查恒成立問(wèn)題的處理，解題要細(xì)心．