Question

【題目】已知點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到直線：的距離為，到點(diǎn)的距離為，且，若直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、（、都在軸上方），且.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)為橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；

（3）對(duì)于動(dòng)直線，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無(wú)論如何變化，直線總經(jīng)過(guò)此定點(diǎn)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）利用題意結(jié)合距離公式整理計(jì)算即可求得橢圓方程；

（2）首先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后結(jié)合直線的斜率即可求得直線方程；

（3）聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理和題意整理計(jì)算即可證得直線過(guò)定點(diǎn)．

解：（1）設(shè)，則，，

，

化簡(jiǎn)得：，

橢圓的方程為：．

（2），，

，，

，，

代入橢圓方程得：，

，或，代入得，（舍去），或，

，據(jù)此可得：，，

（3）直線恒過(guò)定點(diǎn)，證明如下：

由于，所以關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線上．

設(shè)，，，，，

設(shè)直線方程：，代入橢圓方程，

得：，故：

，

則直線的方程為：，

令，得：，

，，則：

．

直線總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．