Question

如圖，在三棱錐中，，，D為AC的中點(diǎn)，.

（1）求證：平面平面；
（2）如果三棱錐的體積為3，求.

Answer 1

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）.

試題分析：本題主要以三棱錐為幾何背景考查線(xiàn)線(xiàn)垂直、平行的判定，線(xiàn)面垂直，面面垂直的判定以及用空間向量法求二面角的余弦值，考查空間想象能力和計(jì)算能力.第一問(wèn)，根據(jù)已知條件，取中點(diǎn)，連結(jié)，得出，再利用，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定證出平面，從而得到垂直平面內(nèi)的線(xiàn)，再利用為中位線(xiàn)，得出平面，最后利用面面垂直的判定證明平面垂直平面；第二問(wèn)，根據(jù)已知進(jìn)行等體積轉(zhuǎn)換，利用三棱錐的體積公式列出等式，解出的值.
試題解析：（Ⅰ）取中點(diǎn)為，連結(jié)，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032252602494.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
又，，所以平面，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032252680415.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以．        3分
由已知，，又，所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032252774590.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面．
又平面，所以平面⊥平面．      5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面．
設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032252930315.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，所以
，      10分
由解得，即．        12分