Question

（2012•開封一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA=AB，G為PD的中點，E點在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（I）求證：AG∥平面PEC；
（Ⅱ）求面PEC與面PAD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為平面PEC⊥平面PDC，過E作交線PC的垂線EF，得到EF⊥平面PCD，經(jīng)證明可得AG⊥平面PCD，從而得到AG∥EF，
進(jìn)一步說明線面平行；
（Ⅱ）以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAD的法向量，運用兩個平面的法向量求二面角的大小．

解答：（Ⅰ）證明：∵CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AG，又PD⊥AG，∴AG⊥平面PCD，
作EF⊥PC于F，因為平面PEC⊥面PCD，∴EF⊥平面PCD，
又由AG⊥平面PCD，∴EF∥AG，
∵AG在平面PCE外，EF在平面PEC內(nèi)，
∴AG∥平面PEC．
（Ⅱ）解：由EF∥AG，F(xiàn)G∥AE，∴EG∥CD，即F是PC的中點，F(xiàn)G=

1

2

CD，即E為AB的中點，
建立如圖所示的坐標(biāo)系．
設(shè)

n

=(x1，y1，z1)是平面PEC的法向量，設(shè)AB=2，則E（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），

AC

=(2，2，0)，

EC

=(1，2，0)，

EP

=(-1，0，2)．
由

n

•

EC

=(x1，y1，z1)(1，2，0)=x1+2y1=0①

n

•

EP

=(x1，y1，z1)(-1，0，2)=-x1+2z1=0②
聯(lián)立①②，取z₁=1得：x₁=2，y₁=-1，z₁=1，∴

n

=(2，-1，1)．
設(shè)面PEC與面PAD所成二面角，∴cosθ=|

n • AB

| n || AB |

|=

6

3

，
所以所求的二面角的余弦值為

6

3

．

點評：本題考查了直線和平面平行的性質(zhì)，考查了二面角的平面角，求二面角的平面角可以建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量

n1

，

n2

，然后借助于公式cosθ=

n1 • n2

| n1 || n2 |

求解，求出θ后，注意分析θ是二面角的平面角還是其補(bǔ)角，此題是中檔題．