Question

已知關(guān)于x的不等式（2x-1）²＜a²x²（a≥0）
（1）求此不等式的解集；
（2）若不等式的解集中整數(shù)恰好有3個(gè)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把已知不等式右邊移項(xiàng)后，利用平方差公式分解因式，由a大于等于0，分四種情況：a=0，0＜a＜2，a=2，a＞2時(shí)分別求出相應(yīng)的解集即可；
（2）由（1）得a=0時(shí)解集為空集，a大于等于2不可能恰有三個(gè)整數(shù)解，所以只考慮0＜a＜2時(shí)的情況，先根據(jù)a的范圍判斷出0＜

1

2+a

＜1，所以解集中最小的整數(shù)解為1，則

1

2-a

應(yīng)該大于3小于等于4，列出不等式即可求出a的范圍．

解答：解：（1）由（2x-1）²＜a²x²得
（2x-1）²-a²x²＜0
[（2-a）x-1][（2+a）x-1]＜0
①a=0時(shí)不等式無解，解集為空集；
②0＜a＜2時(shí)不等式的解集為{x|

1

2+a

＜x＜

1

2-a

}；
③a=2時(shí)不等式的解集為{x|x＞

1

4

}；
④a＞2時(shí)不等式的解集為{x|x＜

1

2-a

或x＞

1

2+a

}．
（2）0＜a＜2時(shí)0＜

1

2+a

＜

1

2

＜1
不等式解集{x|

1

2+a

＜x＜

1

2-a

}中恰好有三個(gè)整數(shù)
所以3＜

1

2-a

≤4得

5

3

＜a≤

7

4

，
a≥2時(shí)不等式的解集中不可能恰有三個(gè)整數(shù)．
所以正實(shí)數(shù)a的取值范圍是

5

3

＜a≤

7

4

．

點(diǎn)評：本題考查一元二次不等式的解法，考查分類討論的思想，是中檔題．