Question

（2010•武昌區(qū)模擬）某單位選派甲、乙、丙三人組隊(duì)參加“2010上海世博會(huì)知識(shí)競(jìng)賽”，甲、乙、丙三人在同時(shí)回答一道問(wèn)題時(shí)，已知甲答對(duì)的概率是

3

4

，甲、丙兩人都答錯(cuò)的概率是

1

12

，乙、丙兩人都答對(duì)的概率是

1

4

，規(guī)定每隊(duì)只要有一人答對(duì)此題則記該隊(duì)答對(duì)此題．
（Ⅰ）求該單位代表隊(duì)答對(duì)此題的概率；
（Ⅱ）此次競(jìng)賽規(guī)定每隊(duì)都要回答10道必答題，每道題答對(duì)得20分，答錯(cuò)除該題不得分外還要倒扣去10分．若該單位代表隊(duì)答對(duì)每道題的概率相等且回答任一道題的對(duì)錯(cuò)對(duì)回答其它題沒有影響，求該單位代表隊(duì)必答題得分的期望（精確到1分）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)P_i為甲、乙、丙三人分別回答一道問(wèn)題時(shí)答對(duì)的概率（，i=1，2，3）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式列出方程組，求出P_i值，利用獨(dú)立事件及相互獨(dú)立事件的概率公式求出該單位代表隊(duì)答對(duì)此題的概率；
（Ⅱ）設(shè)該單位代表隊(duì)答對(duì)的題目個(gè)數(shù)為ξ，得分為η根據(jù)題意判斷出ξ～B（10，

91

，96

）且η=20ξ-10（10-ξ）=30ξ-100
根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式求出該單位代表隊(duì)必答題得分的期望．

解答：解：（I）設(shè)P_i為甲、乙、丙三人分別回答一道問(wèn)題時(shí)答對(duì)的概率（i=1，2，3）
據(jù)題意得P1=

3

4

，(I-p1)(1-p3)=

1

12

所以P3=

2

3

又P2P3=

1

4

所以P3=

3

8

該單位代表隊(duì)答對(duì)此題的概率1-（I-p₁）（1-P₂）（1-p₃）=1-

1

4

×

5

8

×

1

3

=

91

96

（II）設(shè)該單位代表隊(duì)答對(duì)的題目個(gè)數(shù)為ξ，得分為η則
ξ～B（10，

91

，96

）且η=20ξ-10（10-ξ）=30ξ-100
故Eη=30Eξ-100=30×10×

91

96

-100=

1475

8

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，相互獨(dú)立事件是指，兩事件發(fā)生的概率互不影響，注意應(yīng)用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式．