Question

如圖，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=，
EF=2．
（1）求異面直線AD與EF所成的角；
（2）當(dāng)二面角D-EF-C的大小為45°時(shí)，求二面角A-EC-B的正切值．

Answer 1

【答案】分析：如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB，CF和CD分別為作x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系 C-xyz，設(shè)出AB，BE，CF，求出C，A，B，E，F(xiàn)，D的坐標(biāo)，（1）求出中的有關(guān)向量，即可求出所求角的大小．
（2）求出平面AEC的法向量，通過(guò)，即可求解二面角A-EC-B的正切值．
解答：解：如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB，CF和CD分別為作x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系    C-xyz．…（1分）
F（0，c，0），D（0，0，a）…（2分）
（1），
由，∴b-c=-1．…（4分）
所以．
所以，…（5分）
所以異面直線AD與EF成30°   …（6分）
（2）當(dāng)二面角D-EF-C的大小為45，即∠DEC=45°．
設(shè)，
求得．…（8分）
又因?yàn)锽A⊥平面BEFC，，
所以…（10分）
═=，
=．
∴二面角A-EC-B的正切值為，．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查異面直線所成的角，二面角的求法，考查空間想象能力，計(jì)算能力．