【題目】已知函數(shù)f(x)=9x﹣a3x+1+a2(x∈[0,1],a∈R),記f(x)的最大值為g(a).
(Ⅰ)求g(a)解析式;
(Ⅱ)若對于任意t∈[﹣2,2],任意a∈R,不等式g(a)≥﹣m2+tm恒成立,求實(shí)數(shù)m的范圍.
【答案】解:(Ⅰ)令u=3x∈[1,3],則f(x)=h(u)=u2﹣3au+a2.
當(dāng) ≤2即a≤ 時,g(a)=h(u)min=h(3)=a2﹣9a+9;
當(dāng) >2即a> 時,g(a)=h(u)min=h(1)=a2﹣3a+1;
故g(a)=
(Ⅱ)當(dāng)a≤ 時,g(a)=a2﹣9a+9,g(a)min=g( )=﹣ ;
當(dāng)a 時,g(a)=a2﹣3a+1,g(a)min=g( )=﹣ ;
因此g(a)min=g( )=﹣ ;
對于任意任意a∈R,不等式g(a)≥﹣m2+tm恒成立等價(jià)于﹣m2+tm≤﹣ .
令h(t)=mt﹣m2,由于h(t)是關(guān)于t的一次函數(shù),故對于任意t∈[﹣2,2]都有h(t)≤﹣ 等價(jià)于 ,
即 ,
解得m≤﹣ 或m≥
【解析】(Ⅰ)由題意可得,令u=3x∈[1,3],得到f(x)=h(u)=u2﹣3au+a2,分類討論即可求得結(jié)果。
(Ⅱ)由已知先求出g(a)min=g( )=﹣ ;再根據(jù)題意可得﹣m2+tm≤ ,利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得結(jié)果。
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。
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A.
B.(2,+∞)
C.
D.
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【題目】已知曲線 .求:
(1)曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線方程;
(2)(1)中的切線與曲線C是否還有其他的公共點(diǎn)?
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【題目】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)長軸長是短軸長的 倍,且過點(diǎn) ;
(2)橢圓過點(diǎn) ,離心率 .
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【題目】為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān),對本班50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列表:
喜愛打籃球 | 不喜愛打籃球 | 合計(jì) | |
男生 | 20 | 5 | 25 |
女生 | 10 | 15 | 25 |
合計(jì) | 30 | 20 | 50 |
(1)用分層抽樣的方法在喜歡打藍(lán)球的學(xué)生中抽6人,其中男生抽多少人?
(2)在上述抽取的6人中選2人,求恰有一名女生的概率.
(3)為了研究喜歡打藍(lán)球是否與性別有關(guān),計(jì)算出K2 , 你有多大的把握認(rèn)為是否喜歡打藍(lán)球與性別有關(guān)? 附:
下面的臨界值表供參考:
p(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】如圖所示,過正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD,已知正方形的邊長為2,OP=2,連接AP、BP、CP、DP,M、N分別是AB、BC的中點(diǎn),以O(shè)為原點(diǎn),射線OM、ON、OP分別為Ox軸、Oy軸、Oz軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.若E、F分別為PA、PB的中點(diǎn),求A、B、C、D、E、F的坐標(biāo).
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