【題目】定義集合與集合之差是由所有屬于且不屬于的元素組成的集合,記作 .已知集合

)若集合,寫出集合的所有元素;

)從集合選出10個元素由小到大構(gòu)成等差數(shù)列,其中公差的最大值和最小值分別是多少?公差為的等差數(shù)列各有多少個?

)設(shè)集合,且集合中含有10個元素,證明:集合中必有10個元素組成等差數(shù)列.

【答案】2,4,816,3264;(只有1個,d=1有91個;()見解析

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意,分析集合T的元素,結(jié)合MN的含義分析可得答案;(Ⅱ)根據(jù)題意,由等差數(shù)列的性質(zhì)分析公差的最大、最小值,據(jù)此分析等差數(shù)列的數(shù)目,相加即可得答案;(Ⅲ)根據(jù)題意,將集合S中元素列表,據(jù)此分析集合集合SA中的元素,由反證法分析可得結(jié)論.

)根據(jù)題意,集合 , ;

;

則集合 的所有元素是: 2,48,16,32,64

)當首項是1,末項是100時,公差最大為11,即

這樣的數(shù)列只有1個:1,1223,3445,56,6778,89,100;

當選取的10個數(shù)是連續(xù)自然數(shù)時,公差最小為1,即d=1

這樣的數(shù)列首項可以是1,23,…,91中的任何一個,

因此共有91個公差為1的等差數(shù)列;

)將集合中元素列表如下:

1

2

3

10

11

12

13

20

21

22

23

30

91

92

93

100

表中各行或各列的十個數(shù)分別構(gòu)成等差數(shù)列.

假設(shè)存在含有10個元素的集合,使得 中不含10個元素組成的等差數(shù)列.

顯然每連續(xù)10個元素中必有集合中的唯一一個元素,即表的每行、每列中必有集合中的唯一一個元素.

記表中第行第列的數(shù)為

若第 行中集合A的唯一元素為 ,則第行中 ,… 中必有集合A中元素.

若第行的第一個數(shù)在集合中,則此行余下九個數(shù)和下一行第一個數(shù)可以組成等差數(shù)列,與假設(shè)矛盾.

因此,第一列中集合的唯一元素只可能在第十行.

同理,若第行的第二個數(shù)在集合中,則此行余下八個數(shù)和下一行前兩個數(shù)可以組成等差數(shù)列,與假設(shè)矛盾.

因此,第二列中集合的唯一元素只可能在第九行.

依此類推,得

此時,另一條對角線上的十個元素構(gòu)成等差數(shù)列,與假設(shè)矛盾.

綜上,原命題成立.

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