Question

（本小題滿分16分）

已知橢圓：的離心率為，直線：與橢圓相切．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)且垂直與橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于直線于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；

（3）若，，是上不同的點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（本小題滿分16分）

解：（1）因?yàn)?sub>，所以，

      橢圓的方程可設(shè)為·····································2分

      與直線方程聯(lián)立，消去，可得，

      因?yàn)橹本�與橢圓相切，所以，

      又因?yàn)?sub>，所以，

      所以，橢圓的方程為；····································4分

 （2）由題意可知，，

      又為點(diǎn)到直線的距離，·······································5分

        所以，點(diǎn)到直線的距離與到點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)的軌跡是以直線為準(zhǔn)線，點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，···········································7分

      因?yàn)橹本�的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

      所以，點(diǎn)的軌跡的方程為；································9分

 （3）由題意可知點(diǎn)坐標(biāo)為·········································10分

      因?yàn)?sub>，所以，

      即···································11分

      又因?yàn)?sub>，

      所以，

      因?yàn)?sub>，所以，····················13分

      方法一：整理可得：，

              關(guān)于的方程有不為2的解，所以

                   ，且

              所以， 且

              解得的取值范圍為或．······················16分

      方法二：整理可得：，

              當(dāng)時(shí)，

                又因?yàn)?sub>，所以

              當(dāng)時(shí)，

              所以，的取值范圍為或．····················16分