Question

【題目】已知二次函數(shù)，若不等式的解集為（1，4），且方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

（1）求f（x）的解析式；

（2）若不等式f（x）>mx在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）解不等式

Answer 1

【答案】（1）；（2） m<1；（3）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，解集為

【解析】

試題分析：

（1）由題意，是方程的兩根，且，運(yùn)用韋達(dá)定理可得，再由判別式為，可得，進(jìn)而得到的解析式；

（2）由題意，不等式在上恒成立，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可的范圍；

（3）方程的判別式，討論判別式為，大于和小于，即可得到不等式的解集．

試題解析：

（1）由題意,是方程的兩根，且，

由韋達(dá)定理得，，，

，即有

因?yàn)榉匠?/span>有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以

消去得或（舍去），，

所以 ;

（2） 由題意，不等式在上恒成立，

設(shè)其圖象的對(duì)稱軸方程為，

當(dāng)即時(shí)，有（）=，得

當(dāng)即時(shí)，有，得，

綜上，；

（3）方程的判別式，

當(dāng)即時(shí)，不等式的解集為；

當(dāng)時(shí)：時(shí)，不等式的解集為;

時(shí)，不等式的解集為；

當(dāng)即或時(shí)，

不等式的解集為