甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員一次試跳2米高度成功的概率分別為0、7、0、6,且每次試跳成功與否相互之間沒有影響,求:
(Ⅰ)甲試跳三次,第三次才能成功的概率;
(Ⅱ)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率;
(Ⅲ)甲、乙各試跳兩次,甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率.
分析:(Ⅰ)由題意知本題是一個(gè)相互獨(dú)立事件,甲試跳三次,第三次才能成功的概率,表示甲前兩次試跳不成功,而第三次試跳才成功,記出事件,根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,得到結(jié)果.
(Ⅱ)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功表示甲成功且乙成功,甲不成功且乙成功,甲成功且乙不成功,三種結(jié)果,這三種事件之間是互斥關(guān)系,根據(jù)互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率,得到結(jié)果.
(Ⅲ)甲、乙各試跳兩次,甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次表示甲成功兩次且乙成功一次,甲成功一次且乙成功0次,兩種結(jié)果,這兩種結(jié)果是互斥的,根據(jù)互斥事件的概率,得到結(jié)果.
解答:解:記“甲第i次試跳成功”為事件A1,“乙第i次試跳成功”為事件B1、
依題意得P(A1)=0.7,P(B1)=0.6,且A1,B1(i=1,2,3)相互獨(dú)立、
(Ⅰ)“甲第三次試跳才成功”為事件
.
A1
.
A2
A3,且三次試跳相互獨(dú)立,
∴P(
.
A1
.
A2
A3)=P(
.
A1
)P(
.
A2
)P(A3)
=0.3×0.3×0.7=0.063
即甲第三次試跳才成功的概率為0.063.

(Ⅱ)甲、乙兩支在第一次試跳中至少有一人成功為事件C,
解法一:C=A1
.
B1
+
.
A1
B1+A1B1,且A1
.
B1
、
.
A1
B1、A1B1
彼此互斥,
∴P(C)=P(A1
.
B1
)+P(
.
A1
B1)+P(A1B1)

=P(A1)P(
.
B1
)+P(
.
A
1
)P(B1)+P(A1)P(B1)

=0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6
=0.88

解法二:P(C)=1-P(
.
A1
)•P(
.
B1
)
=1-0.3×0.4=0.88.
即甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為0.88

(Ⅲ)設(shè)“甲在兩次試跳中成功i次”為事件Mi(i=0,1,2),
“乙在兩次試跳中成功i次”為事件Ni(i=0,1,2),
∵事件“甲、乙各試跳兩次,甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次”可表示為M1N0+M2N1,且M1N0、M2N1為互斥事件.
∴所求的概率為P(M1N0+M2N1)=P(M1N0)+P(M2N1)=P(M1)P(N0)+P(M2)P(N1
=C21×0.7×0.3×0.42+0.72×C21×0.6×0.4
=0.0672+0.2352
=0.3024.
即甲、乙每人試跳兩次,甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率為0.3024.
點(diǎn)評:本小題主要考查概率的基礎(chǔ)知識,運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力,以及推理與運(yùn)算能力.相互獨(dú)立事件是指,兩事件發(fā)生的概率互不影響,注意應(yīng)用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式.
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 (I)甲試跳三次,第三次才能成功的概率;

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(Ⅰ)甲試跳三次,第三次才成功的概率;

(Ⅱ)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率;

(Ⅲ)甲、乙各試跳兩次,甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率.

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