Question

（2013•成都二模）如圖，在直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，AC=AA₁=2AB=2，∠BAC=90°，點(diǎn)D是側(cè)棱CC₁ 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，EF是平面ABD與平面A₁B₁C₁的交線．
（I）求證：EF丄A₁C；
（II）當(dāng)平面DAB與平面CA₁B₁所成銳二面角的余弦值為

26

26

時(shí)，求DC₁的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（I）證明AB⊥平面ACC₁A₁，EF∥AB，即可證明EF丄A₁C；
（II）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面CA₁B₁的法向量、平面DAB的法向量，利用向量的夾角公式，即可得到結(jié)論．

解答：（I）證明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴平面ABC∥平面A₁B₁C₁，
又∵平面ABC∩平面ABD=AB，平面A₁B₁C₁∩平面ABD=EF
∴EF∥AB
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，又∠BAC=90°
∴AB⊥AA₁，AB⊥AC
∵AA₁∩AC=A
∴AB⊥平面ACC₁A₁
∵A₁C?平面ACC₁A₁
∴AB⊥A₁C
∴EF⊥A₁C
（II）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
設(shè)C₁D=t（t＞0），則B（1，0，0），C（0，2，0），D（0，2，2+t），A₁（0，0，2），B₁（1，0，2）
∴

A1B1

=（1，0，0），

A1C

=（0，2，-2）
設(shè)平面CA₁B₁的法向量為

n

=（x₁，y₁，z₁），則

n • A1B1 =0 n • A1C =0

∴

x1=0 y1-z1=0

令z₁=0，則y₁=1，∴

n

=（0，1，1）
同理可求得平面DAB的法向量

m

=（0，1，-

2

t+2

）
由|cos＜

n

，

m

＞|=

|1- 2 t+2 |

2 × 1+( 2 t+2 )2

=

26

26

∴t=1 或t=-

2

3

（舍去）
∴DC₁=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查空間角，考查利用向量知識(shí)解決立體幾何問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．