已知點(diǎn)F（1，0），動點(diǎn)P到直線x=-2的距離比到F的距離大1．
（1）求動點(diǎn)P所在的曲線C的方程；
（2）A，B為曲線C上兩動點(diǎn)，若|AF|+|BF|=4，求證：AB垂直平分線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．
分析：（1）根據(jù)拋物線定義可知曲線C是以F為焦點(diǎn)、直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，進(jìn)而可得拋物線的方程．
（2）設(shè)AB中點(diǎn)M（1，y0），先得出直線AB的斜率與其中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，再由垂直得出其垂線的斜率，由點(diǎn)斜式得出中垂線方程，發(fā)現(xiàn)其為一過定點(diǎn)的直線，得出此坐標(biāo)即可．
解答：解：（1）由條件，P到F（1，0）的距離等于到直線x=-1的距離，
所以，曲線C是以F為焦點(diǎn)、直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y2=4x
（2）∵|AF|+|BF|=4，
∴x1+x2=2，
設(shè)AB中點(diǎn)M（1，y0），
則kAB=
2
y0

所以中垂線方程為：y-y0=-
y0
2
(x-1)，
它恒過點(diǎn)（3，0）．
故AB垂直平分線過定點(diǎn)（3，0）．
點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的應(yīng)用及過定點(diǎn)的直線方程定點(diǎn)的求法，考查了綜合運(yùn)用所學(xué)知識和運(yùn)算的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)F（1，0），直線l：x=-1，P為平面上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）已知點(diǎn)A（m，2）在曲線C上，過點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2滿足k1•k2=2，試推斷：動直線DE是否過定點(diǎn)？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)F（1，0），直線L：x=-1，P為平面上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線L的垂線，垂足為Q，且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）是否存在正數(shù)m，對于過點(diǎn)M（m，0）且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B的任一直線，都有
FA
•
FB
＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知點(diǎn)F（1，0），直線l：x=-1，P為平面上的動點(diǎn)，過P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，若
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)M（-1，0）作直線m交軌跡C于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）記直線FA，F(xiàn)B的斜率分別為k1，k2，求k1+k2的值；
（Ⅱ）若線段AB上點(diǎn)R滿足
|MA|
|MB|
=
|RA|
|RB|
，求證：RF⊥MF．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)F（1，0），直線l：x=-1，點(diǎn)P為平面上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且
QP
•
FQ
=
PF
•
FQ
，則動點(diǎn)P的軌跡C的方程是
 
．

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