Question

某旅游用品商店經(jīng)銷某種深圳大運會記念品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向稅務部門上交a元（3≤a≤6）的稅收，預計當每件產(chǎn)品的售價為x元（11≤x≤16）時，一年的銷售量為（18-x）²萬件．
（Ⅰ）求該商店一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關系式；
（Ⅱ）當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，該商店一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q（a）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)利潤等于銷售量與每件商品的利潤的乘積可得該商店一年的利潤L（萬元）與售價x的函數(shù)關系式；
（2）欲求出L的最大值Q（a）．先對函數(shù)L（x）求導數(shù)，討論a的范圍，利用導數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，從而求得原函數(shù)的最大值即可解決問題．

解答：解：（Ⅰ）商店一年的利潤L（萬元）與售價x的函數(shù)關系式為：L=（x-3-a）（18-x）²，x∈[11，16]．（無定義域扣1分）                                      …（4分）
（Ⅱ）L=（x-3-a）（18-x）²=x（18-x）²-（3+a）（18-x）²L'（x）=（18-x）²-2x（18-x）+2（3+a）（18-x）=（18-x）（24+2a-3x）．
令L'=0得x=8+

2

3

a或x=18（不合題意，舍去）．…（6分）
∵3≤a≤6，∴10≤8+

2

3

a≤12．在x=8+

2

3

a兩側L'（x）的值由正變負．
所以（1）當10≤8+

2

3

a＜11，即3≤a＜

9

2

時，L_max=L（11）=49（8-a）=49（8-a）．
（2）當11≤8+

2

3

a≤12即

9

2

≤a≤6時，Lmax=L(8+

2

3

a)=(8+

2

3

a-3-a)[18-(8+

2

3

a)]2=4(5-

1

3

a)3，
所以Q（a）=

49(8-a)    3≤a≤ 9 2 4(5- 1 3 a ) 3  9 2 ＜a≤6

答：若3≤a＜

9

2

，則當每件售價為11元時，商店一年的利潤L最大，最大值Q（a）=49（8-a）（萬元）；若

9

2

≤a≤6，則當每件售價為(8+

2

3

a)元時，商店一年的利潤L最大，最大值Q(a)=4(5-

1

3

a)3（萬元）．…（14分）

點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應用、導數(shù)的應用及函數(shù)的最值，同時考查了分段函數(shù)的應用，屬于中檔題．