【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，且點(diǎn)在橢圓C上.橢圓C的左頂點(diǎn)為A.

（1）求橢圓C的方程

（2）橢圓的右焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，求三角形APQ的面積；

（3）過(guò)點(diǎn)A作直線與橢圓C交于另一點(diǎn)B.若直線交軸于點(diǎn)C，且，求直線的斜率.

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率和過(guò)點(diǎn)坐標(biāo)，可得關(guān)于的方程，解方程即可得到橢圓的方程；

（2）設(shè)直線PQ的方程為與橢圓聯(lián)立得：，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，可求得三角形的面積；

（3）由題意知直線的斜率存在，設(shè)的方程為：，利用可得關(guān)于的方程，解方程即可得答案；

（1）由題意知：

解得：，所以，所求橢圓C的方程為.

（2）設(shè)直線PQ的方程為與橢圓聯(lián)立得：

其判別式

所以，則

又點(diǎn)A到直線PQ的距離為

所以三角形APQ的面積為

（3）由題意知直線的斜率存在，設(shè)為，過(guò)點(diǎn)，則的方程為：，

聯(lián)立方程組，消去整理得：，

恒成立，令，

由，得，

將代入中，得到，得，

解得：，.所以直線的斜率為.

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【題目】如圖，在四棱柱中，底面為菱形，.

（1）證明：平面平面；

（2）若，是等邊三角形，求二面角的余弦值.

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A.若時(shí)，平面平面

B.若時(shí)，直線與平面所成的角的正弦值為

C.若直線和異面時(shí)，點(diǎn)不可能為底面的中心

D.若平面平面，且點(diǎn)為底面的中心時(shí)，

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（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若滿足為假命題且為真命題的實(shí)數(shù)取值范圍是集合，集合，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓與A，B兩點(diǎn)，為其左焦點(diǎn)，已知的周長(zhǎng)為8，橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某件產(chǎn)品的效率，隨機(jī)抽查了100名工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量，所取樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，由此得到如圖所示頻率分布直方圖.

（1）求的值并估計(jì)該廠工人一天生產(chǎn)此產(chǎn)品數(shù)量的平均值；

（2）從生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量在的四組工人中，用分層抽樣方法抽取13人，則每層各應(yīng)抽取多少人？

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【題目】已知拋物線，不與坐標(biāo)軸垂直的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

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【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且垂直于底， 是的中點(diǎn)。

（1）證明：直線平面；

（2）點(diǎn)在棱上，且直線與底面所成角為，求二面角的余弦值。

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