Question

已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線C₁的內(nèi)切圓半徑為．記C₂為以曲線C₁與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓．

(Ⅰ)求橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)設(shè)AB是過橢圓C₂中心的任意弦，l是線段AB的垂直平分線．M是l上異于橢圓中心的點(diǎn)．

(1)若|MO|＝λ|OA|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C₂上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)若M是l與橢圓C₂的交點(diǎn)，求△AMB的面積的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由題意得 　　又，解得，． 　　因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 　　(Ⅱ)(1)假設(shè)所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)所在直線方程為 　　，． 　　解方程組得，， 　　所以． 　　設(shè)，由題意知， 　　所以，即， 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1518/0022/78d56870091f8b05df03619295dbd13d/C/Image296.gif" width=9 height=18>是的垂直平分線，所以直線的方程為，即， 　　因此， 　　又，所以，故． 　　又當(dāng)或不存在時(shí)，上式仍然成立． 　　綜上所述，的軌跡方程為． 　　(2)當(dāng)存在且時(shí)，由(1)得，， 　　由解得，， 　　所以，，． 　　解法一：由于 　　， 　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立， 　　此時(shí)面積的最小值是． 　　當(dāng)，． 　　當(dāng)不存在時(shí)，． 　　綜上所述，的面積的最小值為． 　　解法二：因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1518/0022/78d56870091f8b05df03619295dbd13d/C/Image333.gif" width=260 HEIGHT=62>， 　　又，， 　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)面積的最小值是． 　　當(dāng)，． 　　當(dāng)不存在時(shí)，． 　　綜上所述，的面積的最小值為．