在一定面積的水域中養(yǎng)殖某種魚類,每個網(wǎng)箱的產(chǎn)量P是網(wǎng)箱個數(shù)x的一次函數(shù),如果放置4個網(wǎng)箱,則每個網(wǎng)箱的產(chǎn)量為16噸;如果放置7個網(wǎng)箱,則每個網(wǎng)箱的產(chǎn)量為10噸,由于該水域面積限制,最多只能放置10個網(wǎng)箱.
(1)試問放置多少個網(wǎng)箱時,總產(chǎn)量Q最高?
(2)若魚的市場價為m萬元/噸,養(yǎng)殖的總成本為5lnx+1萬元.
(i)當m=0.25時,應放置多少個網(wǎng)箱才能使總收益y最大?
(ii)當m≥0.25時,求使得收益y最高的所有可能的x值組成的集合.
【答案】
分析:(1)設出一次函數(shù),利用條件,求出函數(shù)解析式,即可求得總產(chǎn)量函數(shù),再利用配方法,即可求得最大值;
(2)總收益為y=f(x)=(-2x
2+24x)m-(5lnx+1)(x∈N
+,x≤10)
(i)當m=0.25時,f(x)=(-2x
2+24x)×
-(5lnx+1)=-
x
2+6x-5lnx-1,求導函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,從而可得函數(shù)的極值,即是最值;
(ii)當m≥0.25時,f(x)=(-2x
2+24x)m-(5lnx+1),求導函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,從而可得函數(shù)的極值,即是最值.
解答:解:(1)設p=ax+b,由已知得
,∴
∴p=-2x+24
∴Q=px=(-2x+24)x=-2(x-6)
2+72(x∈N
+,x≤10)
∴當x=6時,f(x)最大
即放置6個網(wǎng)箱時,可使綜產(chǎn)量達到最大
(2)總收益為y=f(x)=(-2x
2+24x)m-(5lnx+1)(x∈N
+,x≤10)
(i)當m=0.25時,f(x)=(-2x
2+24x)×
-(5lnx+1)=-
x
2+6x-5lnx-1
∴f′(x)=-
當1<x<5時,f′(x)>0,當5<x<10時,f′(x)<0,
∴x=5時,函數(shù)取得極大值,也是最大值
∴應放置5個網(wǎng)箱才能使總收益y最大;
(ii)當m≥0.25時,f(x)=(-2x
2+24x)m-(5lnx+1)
∴f′(x)=
令f′(x)=0,即-4mx
2+24mx-5=0
∵m≥0.25,∴△=16m(36m-5)>0
方程-4mx
2+24mx-5=0的兩根分別為
,
∵m≥0.25,∴x
1≤1,5≤x
2<6
∴當x∈(1,x
2)時,f′(x)>0,當x
2<x<10時,f′(x)<0,
∴x=x
2時,函數(shù)取得極大值,也是最大值
∴使得收益y最高的所有可能的x值組成的集合為{5,6}.
點評:本題考查導數(shù)知識的運用,考查函數(shù)模型的構建,解題的關鍵是建立函數(shù)模型,利用導數(shù)求最值.