(12分)如圖,四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,,且中點.

(1)求證:平面;     

(2)求二面角的大。

(3)在線段上是否存在點,使得點到平面的距離

?若存在,確定點的位置;若不存在,請說明理由.

解析:解法一:(1)證明:∵底面為正方形,

  ∴,又,  ∴平面,

. 同理可證,   ∴平面.         

(2)解:設中點,連結,又中點,

可得,從而底面

的垂線,垂足為,連結

 由三垂線定理有,

為二面角的平面角.

中,可求得   ∴.                 

∴ 二面角的大小為.  

(3)由中點可知,

要使得點到平面的距離為,即要點到平面的距離為.

 過 的垂線,垂足為,

平面,∴平面平面,∴平面,

為點到平面的距離.∴,∴.            

 設,由相似可得,∴,即

∴在線段上存在點,且中點,使得點到平面的距離為

解法二:(Ⅰ)證明:同解www.ks5u.com法一.

(2)解:建立如圖的空間直角坐標系, .  

為平面的一個法向量,則,

  令.      

是平面的一個法向量,

設二面角的大小為

∴ 二面角的大小為.  

(3)解:設

為平面的一個法向量,

,.又,

 令.  又

∴點到平面的距離,∴,解得,即 ,∴在線段上存在點,使得點到平面的距離為,且中點
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(2)求直線BD與平面ACD所成角的正弦值;

(3)求二面角D—AC一A的余弦值.

 

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