【題目】如圖,四棱錐中,平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,且,,E是棱BC上的動(dòng)點(diǎn),F是線段PE的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面ADF;
(Ⅱ)若直線DE與平面ADF所成角為30°,求EC的長.
【答案】(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)
【解析】
方法1:(Ⅰ)取棱PB,PC的中點(diǎn)分別為M,N,連結(jié)AM,MN,ND,
由,可得,由平面PAB,可得,利用線面垂直的判斷定理可以證明平面ADF;
(Ⅱ)方法1:由(Ⅰ)知平面AMND,在平面PBC內(nèi)作,交MN于H,則平面AMND,連結(jié)DH,則就是直線DE與平面ADF所成角,即.通過三角函數(shù),勾股定理,最后可以求出EC的長;
方法2:如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,求出的坐標(biāo),設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),求出坐標(biāo).
(Ⅰ)求出平面ADF的法向量和向量的坐標(biāo)表示,從而可以證明平面ADF;
(Ⅱ)設(shè)直線DE與平面ADF所成角為,求線面角的坐標(biāo)表示公式,可以求出點(diǎn)坐標(biāo),最后求出EC的長.
方法1:(Ⅰ)取棱PB,PC的中點(diǎn)分別為M,N,
連結(jié)AM,MN,ND,
因?yàn)?/span>,所以,
又因?yàn)?/span>平面PAB,平面PAB,
所以,且,
所以平面ADF.
(Ⅱ)方法1:由(Ⅰ)知平面AMND,在平面PBC內(nèi)作,交MN于H,則平面AMND,連結(jié)DH,則就是直線DE與平面ADF所成角,即.
又因?yàn)?/span>,所以,得到.
因?yàn)?/span>,所以,
所以,故.
方法2:如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
.
(I),
設(shè)平面ADF的法向量為,
則,從而取.
又,所以,從而平面ADF.
(Ⅱ)設(shè)直線DE與平面ADF所成角為,
由,平面ADF的法向量為,
故,解得,
所以,因此.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面,,,,.
(1)求證:平面;
(2)在棱上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,確定點(diǎn)的位置;若不存在,說明理由.
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【題目】四棱錐P﹣ABCD中,ADBC,BC⊥CD,BC=CD=2AD=2,PD=,側(cè)面PBC是等邊三角形.
(1)證明:PA⊥平面PBC;
(2)求BC與平面PCD所成角的余弦值.
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【題目】下列四個(gè)命題:
①函數(shù)的最大值為1;
②“若,則”的逆命題為真命題;
③若為銳角三角形,則有;
④“”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的充分必要條件.
其中所有正確命題的序號(hào)為____________.
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【題目】已知函數(shù)圖像上一點(diǎn)處的切線方程為
(1)求的值;
(2)若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根,求的取值范圍;
(3)令如果的圖像與軸交于兩點(diǎn),的中點(diǎn)為,求證:
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【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面四邊形ABCD是菱形, 是邊長為2的等邊三角形, , .
Ⅰ求證: 底面ABCD;
Ⅱ求直線CP與平面BDF所成角的大;
Ⅲ在線段PB上是否存在一點(diǎn)M,使得平面BDF?如果存在,求的值,如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】(1)若點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小,求點(diǎn)的軌跡方程.
(2)設(shè)橢圓的離心率為,焦點(diǎn)在軸上且長軸長為,若曲線上的點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差絕對(duì)值等于,求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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【題目】某公司為招聘新員工設(shè)計(jì)了一個(gè)面試方案:應(yīng)聘者從道備選題中一次性隨機(jī)抽取道題,按照題目要求獨(dú)立完成規(guī)定:至少正確完成其中道題的便可通過.已知道備選題中應(yīng)聘者甲有道題能正確完成,道題不能完成;應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響
(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列,并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望;
(2)請(qǐng)分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性大?
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是矩形,側(cè)棱底面,,點(diǎn)是的中點(diǎn).
求證:平面;
若直線與平面所成角為,求二面角的大小.
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