Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且x＞1，f（x）＞0．
（1）判斷y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由．
（2）一個(gè)各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足f（s_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n∈N*），其中s_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和，求數(shù)列的通項(xiàng)a_n．

Answer 1

分析：（1）利用f（xy）=f（x）+f（y）?f（xy）-f（x）=f（y），再利用x＞1，f（x）＞0即可得結(jié)論．
（2）f（s_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1?2s_n=a_n•a_n+1，再由數(shù)列的前n項(xiàng)的和和通項(xiàng)的關(guān)系求出通項(xiàng)．

解答：解：（1）y=f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)
設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂則f（x₂）=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)
∵x＞1時(shí)f（x）＞0∴f（

x2

x1

）＞0?f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＞0，
∴y=f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．（6分）
（2）由f（s_n）+1=f（a_n）+f（a_n+1）
∴f（s_n）+f（2）=f（a_n）+f（a_n+1）
∴2s_n=a_n•a_n+1，當(dāng)n≥2時(shí)，
∴2s_n-1=a_n-1•a_n，兩式相減得：2a_n=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0（n≥2）
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）∴a_n=n（8分）

點(diǎn)評(píng)：抽象函數(shù)性質(zhì)的證明是一種代數(shù)推理，和幾何推理證明一樣，要注意推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，每一步推理都要有充分的條件，不可漏掉條件，更不可臆造條件，推理過(guò)程要層次分明，書(shū)寫(xiě)規(guī)范．