【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)若f(1)=0,求函數(shù)fx)的最大值;
(Ⅱ)令,討論函數(shù)gx)的單調區(qū)間;
(Ⅲ)若a=2,正實數(shù)x1,x2滿足證明

【答案】(1)fx)的最大值為f(1)=0.(2)見解析(3)見解析

【解析】試題分析(Ⅰ)代入求出值,利用導數(shù)求出函數(shù)的極值,進而判斷最值;(Ⅱ)求出,求出導函數(shù),分別對參數(shù)分類討論,確定導函數(shù)的正負,得出函數(shù)的單調性;(Ⅲ)整理方程,觀察題的特點,變形得,故只需求解右式的范圍即可,利用構造函數(shù),求導的方法求出右式的最小值.

試題解析:(Ⅰ)因為,所以a=-2,此時fx)=lnx-x2+x,

f'(x)=-2x+1,

f'(x)=0,得x=1,

fx)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,

故當x=1時函數(shù)有極大值,也是最大值,所以fx)的最大值為f(1)=0.

(Ⅱ)gx)=fx)-ax2-ax+1,

gx)=lnx-ax2-ax+x+1

a=0時,g'(x)>0,gx)單調遞增;

a>0時,x∈(0,)時,g'(x)>0,gx)單調遞增;x∈(,+∞)時,g'(x)<0,gx)單調遞減;

a<0時,g'(x)>0,gx)單調遞增;

(Ⅲ)當a=2時,fx)=lnx+x2+x,x>0,.

fx1)+fx2)+x1x2=0,即

lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x2x1=0.

從而(x1+x22+(x1+x2)=x1x2-lnx1x2),.

t=x2x1,則由φ(t)=t-lnt得,φ'(t)=

可知,φ(t)在區(qū)間(0,1)上單調遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調遞增.所以φ(t)≥1,

所以(x1+x22+(x1+x2)≥1,正實數(shù)x1x2,

練習冊系列答案
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x

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x2

x3

ωx+φ

0

π

Asin(ωx+φ)

0

2

0

-2

0

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